Determinante e Traço

Traço de uma Matriz

O traço de uma matriz quadrada corresponde à soma dos elementos da diagonal principal. Pode possuir várias interpretações físicas e geométricas consoante o contexto em que o utilizamos, interpretações essas que, por simplicidade, não abordaremos aqui (nem são necessárias para um bom aproveitamento na disciplina). De qualquer maneira, quem tiver o interesse mais aguçado pode espreitar esta e outras threads para entender melhor os vários cenários em que este conceito pode ser útil.

Formalmente, escrevemos:

Possui um conjunto de propriedades particularmente útil:

• $\op{tr}(A + B) = \op{tr}(A) + \op{tr}(B)$
• $\op{tr}(kA) = k\op{tr}(A), k \in \R$
• $\op{tr}(AB) = \op{tr}(BA)$

A título de exemplo:

Matriz Transposta

É usual introduzir o conceito da transposição matricial quando se aborda o traço de uma matriz. Dizemos que a matriz transposta de $A$, denotada por $A^T$, é a matriz obtida tal que:

Colocado em linguagem corrente, a matriz transposta obtém-se trocando colunas e linhas de cada entrada da matriz original. Segue-se um exemplo abaixo:

Uma matriz dir-se-á simétrica, claro, caso $A = A^T$. As matrizes identidade e nula são exemplos de matrizes simétricas!

Voltando à questão do traço, temos que para toda a matriz quadrada $A$, $\op{tr}(A) = \op{tr}(A^T)$. Esta definição é relativamente simples de compreender: a diagonal principal fica sempre intacta, com as entradas a "rodar" sobre a mesma, pelo que o traço permanece inalterado.

A matriz transposta possui ainda algumas propriedades relevantes:

• $(A^T)^T = A$ - transpondo a transposta, obtemos a matriz original;
• $(A + B)^T = A^T + B^T$ - a transposta de uma soma matricial é a soma das transpostas;
• $(AB)^T = B^TA^T$ - a transposta de um produto matricial é o produto das transpostas, pela ordem inversa;
• se $A$ for invertível, $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$ - a transposta da inversa é a inversa da transposta.

A prova para a terceira propriedade pode ser encontrada aqui.

Determinante de uma Matriz

Essencialmente, o determinante de uma matriz permite-nos verificar quando é que uma qualquer matriz quadrada $A$ possui inversa: caso este seja $0$, $A^{-1}$ não existe. Em qualquer outro caso, podemos afirmar que $A$ tem inversa. Para além desta propriedade (fulcral, diga-se de passagem), existe uma noção "espacial" associado ao conceito de determinante, abordado em contextos mais teóricos (que não serão referidos nesta página). Usualmente escrevemo-lo de duas formas, $\op{det}(A)$ ou $|A|$.

Após abordadas tantas propriedades e conceitos associados ao determinante, será agora interessante aprender a calculá-lo. Para tal, vamos começar por delinear um algoritmo para o caso geral, abordando posteriormente casos particulares em que podemos simplificar o cálculo.

Note-se que, utilizando a eliminação de Gauss-Jordan para obter $L$, vamos poder calcular $k$ iterativamente, consoante as transformações elementares que formos aplicando a $A$. Segue-se um exemplo relativamente simples abaixo:

Note-se que:

• com a primeira transformação, $k$ permanece neutro, $1$, já que tal como referido mais acima, transformar uma linha na sua soma pelo produto de outra linha por uma constante não altera o determinante;
• com a segunda transformação, $k$ passa a ser negativo, já que, como referido mais acima, trocar duas linhas altera o sinal do determinante.

Posteriormente, já com $A$ transformada em $L$, em escada de linhas, podemos calcular o determinante diretamente.

Determinante - Matrix $2 \times 2$

As matrizes que vamos sempre querer ao calcular determinantes são matrizes $2 \times 2$. devido à simplicidade do seu cálculo, existindo inclusive uma fórmula bastante fácil de decorar para este propósito. Para qualquer matriz quadrada $2 \times 2$, temos que:

Abaixo encontra-se uma derivação interessante para este resultado.

Regra de Laplace

Ora, obviamente não vamos querer sempre calcular determinantes de matrizes $2 \times 2$. Para calcular o determinante de matrizes de dimensões superiores, podemos recorrer a todo um conjunto de regras e algoritmos - esta secção abordará uma delas, a Regra de Laplace.

Explorados estes conceitos, temos agora tudo o que precisamos para definir a regra de Laplace, com formulação relativamente simples:

Posto em linguagem corrente, temos que o determinante de uma matriz $A$ pode ser obtido, fixando uma qualquer linha ou coluna $x$, somando o produto de cada entrada respetiva a $x$ pelo cofator respetivo. Se ainda assim parecer confuso, o exemplo abaixo provavelmente permitirá dissipar algumas dúvidas:

Exemplo

Consideremos a seguinte matriz $A$:

$$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 0 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 0 & 16 \end{bmatrix}$$

Recorrendo à regra de Laplace, podemos calcular o determinante de $A$ fixando a linha $1$:

$$\begin{aligned} \op{det}(A) &= \sum_{j=1}^4 a_{1j} c_{1j}\\ &= 0 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{12} + 3 \cdot C_{13} + 0 \cdot C_{14}\\ &= 3 \cdot C_{13}\\ &= 3 \cdot (-1)^{1+3} \op{det}(A_{13})\\ &= 3 \cdot \op{det}(A_{13})\\ &= 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 6 & 8 \\ 9 & 0 & 12 \\ 13 & 14 & 16 \end{vmatrix} \end{aligned}$$

Vamos novamente aplicar a regra de Laplace, fixando agora a linha $2$:

$$\begin{aligned} \op{det}(A) &= 3 (9 \cdot C'_{21} + 0 \cdot C'_{22} + 12 \cdot C'_{23})\\ &= 3 (- 9 \cdot \op{det}(A'_{21}) - 12 \cdot \op{det}(A'_{23}))\\ &= -3 (9 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 8 \\ 14 & 16 \end{vmatrix} + 12 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 6 \\ 13 & 14 \end{vmatrix})\\ &= -3 (9 \cdot (6 \cdot 16 - 8 \cdot 14) + 12 \cdot (0 \cdot 14 - 6 \cdot 13))\\ &= -3 (- 144 - 936)\\ &= 3 (1080)\\ &= 3240 \end{aligned}$$

Ora, empiricamente conseguimos perceber que quantas mais entradas nulas tiver a linha/coluna que escolhermos, mais rapidamente calculamos o valor pretendido (já que podemos só afirmar que o produto tem valor $0$). É, assim, da maior importância que façamos uma escolha criteriosa da linha/coluna que vamos fixar, por forma a minimizar o trabalho que temos pela frente.

Matriz dos Cofatores

Pegando no conceito de cofator abordado mais acima, podemos introduzir a noção de matriz dos cofatores: dada uma matriz $A$, $n \times n$, a respetiva matriz dos cofatores é uma matriz de dimensões iguais, tal que a respetiva entrada $ij$ é dada por $C_{ij}$. Note-se, claro, que a soma de qualquer linha/coluna desta matriz é igual ao determinante da matriz $A$.

Dada a matriz dos cofatores, podemos calcular a inversa de uma matriz $A$ da seguinte forma:

Recorrendo a esta fórmula, temos agora uma maneira bastante simples de calcular a inversa de uma matriz $2 \times 2$:

Note-se que o determinante de uma matriz $2 \times 2$ é dado por $ad - bc$, pelo que o lado esquerdo do produto é relativamente óbvio. É igualmente trivial demonstrar que a transposta da matriz dos cofatores de uma matriz $2 \times 2$ corresponde precisamente à matriz à direita.

Regra de Cramer

A regra de Cramer vai permitir-nos resolver sistemas de equações lineares recorrendo a uma fórmula, em vez de ter de usar o método de Gauss-Jordan, iterativo. Funciona exclusivamente para matrizes $A$ invertíveis, retornando, em caso afirmativo, a única solução possível para o sistema. Para tal, utiliza a igualdade referida acima, $A^{-1} = \frac{1}{\op{det}(A)} \cdot \op{cof}(A)^T$:

Esta fórmula permite-nos afirmar que cada uma das entradas de $x$, $x_k$, serão dadas pela seguinte expressão (com a respetiva demonstração abaixo):

Demonstração

Ora, temos que:

$$\op{cof}(A)^T \begin{bmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{11} b_1 + c_{21} b_2 + \cdots + c_{n1} b_n \\ \vdots \\ c_{1n} b_1 + c_{2n} b_2 + \cdots + c_{nn} b_n \end{bmatrix}$$

Assim sendo, podemos afirmar que cada entrada de $x$, $x_k$, será dada por:

$$x_k = \frac{c_{1k} b_1 + c_{2k} b_2 + \cdots + c_{nk} b_n}{\op{det}(A)}$$

É possível demonstrar (embora, por questões de brevidade, não seja feito aqui) que o numerador do quociente acima é equivalente ao determinante da matriz obtida de $A$ substituindo a coluna $k$ por $b$:

$$\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1 k - 1} & b_1 & a_{1 k + 1} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2 k - 1} & b_2 & a_{2 k + 1} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n k - 1} & b_n & a_{n k + 1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

Obtida esta fórmula, podemos resolver facilmente um sistema como o seguinte:

Exemplo - Resolução

Aqui, temos que:

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad b = \begin{bmatrix} \smartcolor{orange}{1} \\ \smartcolor{orange}{1} \end{bmatrix}$$

Note-se que o determinante de $A$ é $-1$, pelo que podemos aplicar a regra de Cramer para obter a solução do sistema:

$$x_1 = \frac{\begin{vmatrix}\smartcolor{orange}{1} & 3 \\\smartcolor{orange}{1} & 4\end{vmatrix}}{-1} = -1, \quad x_2 = \frac{\begin{vmatrix}2 & \smartcolor{orange}{1} \\3 & \smartcolor{orange}{1}\end{vmatrix}}{-1} = 1$$

$$x = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$$