Introdução à Álgebra Linear

Sistemas de Equações Lineares (SEL)
- Matrizes de um SEL
Matriz em Escada de Linhas
Processo de Eliminação de Gauss

Sistemas de Equações Lineares (SEL)

Equação Linear

Uma equação linear para as incógnitas $x_1, x_2, \ldots, x_n$ é toda a equação sob a forma

a_1 x_1 + a_2 x_2 + \ldots + a_n x_n = b, \qquad a_1, \ldots, a_n, b \in \mathbb{R}

Mais ainda, $(s_1, \ldots, s_n)$ diz-se uma solução desta equação caso possamos verificar que:

a_1 s_1 + a_2 s_2 + \ldots + a_n s_n = b.

Podemos, claro está, criar um sistema com um número arbitrário de equações lineares:

\begin{aligned} \begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \ldots + a_{1n} x_n = b_1, \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \ldots + a_{2n} x_n = b_2, \\ \vdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \ldots + a_{mn} x_n = b_m \end{cases} \end{aligned}

Note-se que aqui podemos igualmente definir $(s_1, \ldots, s_n)$ como uma solução para o sistema: requer-se, aqui, que seja solução de todas as equações do sistema.

Exemplo

Consideremos o sistema de equações lineares seguinte:

\begin{aligned} \begin{cases} x - y = -5, \\ 2x - y = -2 \\ \end{cases} \end{aligned}

Uma solução possível para o sistema apresentado é $(3, 8)$ , visto que:

\begin{aligned} \begin{cases} 3 - 8 = -5, \\ 2 \cdot 3 - 8 = -2 \end{cases} \end{aligned}

Definimos $S$ como o conjunto de todas as soluções $(s_1, \ldots, s_n)$ para um dado SEL. Podemos, recorrendo a este conjunto, fazer algumas afirmações quanto a sistemas de equações lineares: um SEL diz-se possível caso $S$ não corresponda ao conjunto vazio, e determinado caso este possua um único elemento. Mais ainda, temos que dois SEL são equivalentes caso os respetivos conjuntos de soluções sejam iguais.

Matrizes de um SEL

Uma das noções principais (senão mesmo a principal) de Álgebra Linear é a de matriz. Uma matriz nada mais é que uma forma alternativa, mais compacta, de representar um SEL.

Considerando o exemplo-base de SEL,

\begin{aligned} \begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \ldots + a_{1n} x_n = b_1, \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \ldots + a_{2n} x_n = b_2, \\ \vdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \ldots + a_{mn} x_n = b_m \end{cases} \end{aligned}

podemos definir a respetiva matriz do sistema da seguinte forma:

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix}

Existe ainda a noção de matriz aumentada do sistema, que incorpora os números reais do lado direito das equações (os $b_i$ ). Representamo-la de forma igualmente simples:

A|b = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & b_2 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} & b_m \end{bmatrix}

Matriz em Escada de Linhas

É natural que se tentem encontrar formas de resolver SEL da forma mais eficiente possível: é um problema extremamente frequente em várias áreas da matemática e engenharia! Ora, quanto mais simples for a matriz aumentada, mais simples será resolver o problema, claro. A simplicidade da matriz, aqui, prende-se quanto à sua forma: temos que é muito mais simples resolver um SEL quando apresentado sob a forma de matriz caso esta esteja em escada de linhas.

Matriz em Escada de Linhas

Dizemos que uma matriz se encontra em escada de linhas quando:

Não existem linhas nulas acima de linhas não nulas;
Toda a linha abaixo de uma linha arbitrária $L$ tem o seu pivô à direita do de $L$ .

Dizemos ainda que este "pivô" corresponde ao primeiro coeficiente da linha em questão.

Exemplo

Encontram-se, de seguida, duas matrizes: a da esquerda está em escada de linhas, enquanto que a da direita não: como podemos observar, a segunda linha tem o seu pivô à direita do da terceira, ditando assim que a matriz não está em escada de linhas.

\begin{aligned} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \qquad \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}

Resta ainda adicionar a noção de incógnitas livres e dependentes. Uma incógnita, $x_i$ , diz-se dependente se na respetiva coluna da matriz aumentada do sistema em que se encontra houver um pivô. Caso contrário, diz-se livre. De realçar que esta análise só pode ser realizada a matrizes em escada de linhas.

Atentemos na seguinte matriz:

A|b = \begin{bmatrix} \boxed{1} & 1 & -1 & 2 \\ 0 & \boxed{1} & -1 & 3 \end{bmatrix}

Temos, aqui, que as incógnitas $x_1$ e $x_2$ são dependentes, visto que são pivôs das primeira e segunda linhas, respetivamente. Por outro lado, $x_3$ é uma incógnita livre!

Podemos daqui retirar algumas noções-chave sobre sistemas de equações lineares:

Um SEL diz-se impossível caso exista um pivô na última coluna da matriz aumentada do sistema. Ora, a justificação é relativamente simples: se existe um pivô na última coluna, quer dizer que os coeficientes para todas as incógnitas serão, nessa linha, $0$ , e portanto teremos uma equação tal que $0 = b_i, b_i \neq 0$ - uma contradição, portanto.
Um SEL diz-se possível e determinado caso todas as colunas (exceto a última) tenham pivô.
Um SEL diz-se possível e indeterminado caso pelo menos uma coluna não tenha pivô (descontando a última).

Abordámos acima os conceitos-base referentes à noção de SEL e matriz. Não foi abordada, contudo, uma forma de chegar à matriz em escada de linhas de um sistema. Para nos ajudar a fazê-lo, vamos primeiro olhar para um conjunto de transformações que podemos aplicar às linhas de uma matriz.

Transformações Elementares sobre as Linhas de uma Matriz

Podemos trocar as linhas de uma matriz, sem que tal altere o conjunto-solução do sistema: estamos, no fundo, apenas a trocar a ordem pela qual as equações aparecem, pelo que o resultado final será o mesmo. Podemos denotar esta operação através de $L_i \leftrightarrow L_j$ .
Podemos multiplicar uma linha por um número, sem que tal altere o conjunto-solução do sistema: estamos apenas a multiplicar todos os coeficientes (e $b_i$ ) da linha pelo mesmo número, pelo que a solução será a mesma, já que ter $2x + y = 1$ é equivalente a ter $4x + 2y = 2$ (por exemplo). Podemos denotar esta operação através de $\alpha L_i$ , onde $\alpha = 2$ é o tal número pelo qual estamos a multiplicar a linha.
Podemos substituir uma linha pela sua soma com o múltiplo de outra linha, sem que tal altere o conjunto-solução do sistema: colocando a questão de forma mais simples, se $A = B$ e $C = D$ , então podemos afirmar que $A + C = B + D$ . Podemos denotar esta operação através de $L_i + \alpha L_j$ .

Processo de Eliminação de Gauss

Trata-se de um processo de resolução de sistemas de equações lineares, assente na noção de matriz aumentada e nas transformações elementares referidas acima. O processo é bastante simples:

Começamos por criar a matriz aumentada do sistema, $A|b$ , tendo em atenção a ordem das incógnitas.
Aplicamos sucessivas transformações elementares sobre as linhas da mesma, até obter uma matriz em escada de linhas.
Verificamos se o sistema é possível, identificando nesse caso as incógnitas dependentes e livres.
Resolver, por fim, o sistema.

Exemplos

Considerando o seguinte SEL e respetiva matriz aumentada:

\begin{aligned} \begin{cases} x_1 + x_2 = 1 \\ 2x_1 + 2x_2 + x_3 = 0 \\ 3x_1 + x_3 = 1 \end{cases} \qquad \qquad \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}

Teremos, por eliminação de Gauss:

\begin{aligned} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \underrightarrow{L_2 - 2L_1} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 3 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \underrightarrow{L_3 - 3L_1} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & -3 & 1 & -2 \end{bmatrix} \end{aligned} \\ \underrightarrow{L_2 \leftrightarrow L_3} \begin{bmatrix} \boxed{1} & 1 & 0 & 1 \\ 0 & \boxed{-3} & 1 & -2 \\ 0 & 0 & \boxed{1} & -2 \end{bmatrix}

A matriz está, assim, em escada de linhas, e o sistema é possível e determinado. Podemos, então, resolvê-lo:

\begin{aligned} \begin{cases} x_1 + x_2 = 1 \\ 2x_1 + 2x_2 + x_3 = 0 \\ 3x_1 + x_3 = 1 \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} x_1 + x_2 = 1 \\ -3x_2 + x_3 = -2 \\ x_3 = -2 \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} x_1 = 1 \\ x_2 = 0 \\ x_3 = -2 \end{cases} \end{aligned}

Temos, portanto, que relativamente a este SEL, $S = \{(1, 0, -2)\}$ .

Podem ainda surgir problemas com coeficientes desconhecidos. Consideremos o seguinte SEL e respetiva matriz aumentada:

\begin{aligned} \begin{cases} x_1 + \alpha x_3 = 1 \\ 2x_1 + 2x_2 + x_3 = 0 \\ 3x_1 + x_3 = \beta \end{cases} \qquad \qquad \begin{bmatrix} 1 & 0 & \alpha & 1 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & \beta \end{bmatrix} \end{aligned}

Pretendemos descobrir os valores de $\alpha$ e $\beta$ para os quais o sistema é possível e indeterminado. Por eliminação de Gauss, temos:

\begin{aligned} \begin{bmatrix} 1 & 0 & \alpha & 1 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & \beta \end{bmatrix} \underrightarrow{L_2 - 2L_1} \begin{bmatrix} 1 & 0 & \alpha & 1 \\ 0 & 2 & 1 - 2\alpha & -2 \\ 3 & 0 & 1 & \beta \end{bmatrix} \underrightarrow{L_3 - 3L_1} \begin{bmatrix} 1 & 0 & \alpha & 1 \\ 0 & 2 & 1 - 2\alpha & -2 \\ 0 & 0 & 1 - 3\alpha & \beta - 3 \end{bmatrix} \end{aligned}

Podemos, daqui, retirar que:

\begin{aligned} \begin{cases} x_1 + \alpha x_3 = 1 \\ 2x_2 + (1 - 2\alpha)x_3 = -2 \\ (1 - 3\alpha)x_3 = \beta - 3 \end{cases} \end{aligned}