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Matriz de Mudança de Coordenadas

Matriz de Mudança de Coordenadas

Definição

Sejam B1={v1,...,vn}B_1=\{v_1,...,v_n\} e B2={w1,...,wn}B_2=\{w_1,...,w_n\}, duas bases ordenadas de um espaço vetorial VV, a matriz SB1→B2=(sij)n×nS_{B_1 \to B_2} = (s_{ij})_{n\times n}, cujas colunas são as coordenadas dos vetores de B1B_1 escritos na base B2B_2, chama-se matriz de mudança de coordenadas de B1B_1 para B2B_2.

A matriz SB1→B2S_{B_1 \to B_2} satisfaz a igualdade:

SB1→B2[u]B1=[u]B2S_{B_1 \to B_2} [u]_{B_1} = [u]_{B_2}

A matriz de mudança de coordenadas permite assim calcular as coordenadas de um qualquer vetor u∈Vu \in V na base B2B_2 desde que sejam conhecidas as suas coordenadas na base B1B_1.

Da igualdade acima podemos inferir que:

SB1→B2[u]B1=[u]B2⇔SB1→B2−1[u]B2=[u]B1S_{B_1 \to B_2} [u]_{B_1} = [u]_{B_2} \Leftrightarrow S_{B_1 \to B_2}^{-1} [u]_{B_2} = [u]_{B_1}

ou seja, que

SB1→B2−1=SB2→B1S_{B_1 \to B_2}^{-1} = S_{B_2 \to B_1}

Menos óbvia mas também válida é a seguinte igualdade:

SB1→B3=SB2→B3SB1→B2S_{B_1 \to B_3} = S_{B_2 \to B_3}S_{B_1 \to B_2}

Sendo aplicada a matriz de mudança de coordenadas SB2→B3S_{B_2 \to B_3} após a matriz de mudança de coordenadas SB1→B2S_{B_1 \to B_2}, podemos obter a matriz de mudança de coordenadas SB1→B3S_{B_1 \to B_3}.

Construção da Matriz de Mudança de Coordenadas

Para obtermos a matriz de mudança de coordenadas de B1→B2B_1 \to B_2 tomamos os seguintes passos:

  1. Escrever os vetores de B1B_1 na base B2B_2
  2. Construir uma matriz cujas colunas são os vetores de B1B_1 escritos na base B2B_2

Exemplo

B1={(1,−1),(1,1)},B2={(1,2),(3,4)}B_1 = \{(1, -1), (1, 1)\},\quad B_2 = \{(1,2), (3,4)\}

  • Escrever os vetores de B1B_1 na base B2B_2

    (1,−1)=α(1,2)+β(3,4)(1, -1) = \alpha(1,2) + \beta(3,4) de onde obtemos a seguinte matriz do SEL:

[13124−1]→[10−720132]\augmatrix{cc|c}{1 & 3 & 1\\ 2 & 4 & -1} \to \augmatrix{cc|c}{1 & 0 & -\frac{7}{2}\\ 0 & 1 & \frac{3}{2}}

Como α=−72∧β=32\alpha = -\frac{7}{2} \land \beta = \frac{3}{2}, concluímos que [(1,−1)]B2=(−72,32)[(1, -1)]_{B_2} = (-\frac{7}{2}, \frac{3}{2}), isto é, o vetor (1,−1)(1, -1) tem coordenadas (−72,32)(-\frac{7}{2}, \frac{3}{2}) na base B2B_2.

Repetindo o processo para o segundo vetor de B1B_1 obtemos [(1,1)]B2=(−12,12)[(1,1)]_{B_2} = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}).

  • Construir a matriz de mudança de coordenadas

    Tendo calculado as coordenadas dos vetores de B1B_1 na base B2B_2 fica simples a construção da matriz SB1→B2S_{B_1 \to B_2}.
    Neste caso a matriz de mudança de coordenadas será [−72−123212]\begin{bmatrix} -\frac{7}{2} & -\frac{1}{2}\\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2}\end{bmatrix}

Observação

Os vetores das bases B1{B_1} e B2{B_2} encontram-se escritos na base canónica, isto é {(1,0),(0,1)}\{(1,0),(0,1)\}. Assim, a matriz de mudança de coordenadas de B1{B_1} para a base canónica (ε)(\varepsilon) seria [11−11]\begin{bmatrix}1 & 1\\ -1 & 1\end{bmatrix}, uma vez que os vetores já estariam escritos nessa base. Para obter a matriz de mudança de coordenadas da base ε\varepsilon para a base B1B_1 bastaria calcular a inversa desta matriz.