Axiomática

Existem vários métodos de definir os números reais. No entanto, apenas vamos aprofundar no método que utiliza uma via axiomática e axiomas.

É importante perceber o que é um axioma antes de continuar.
TL;DR: Um axioma é uma afirmação que supomos ser verdadeira, e que a partir dela (ou de um conjunto de axiomas) vamos tirar conclusões, neste caso para chegar à definição de números reais.

Operação binária da soma

Uma operação binária é uma operação que tem dois operandos e um resultado.

• Axioma do fecho da adição $\forall x,y\in\mathbb{U}, x+ y\in\mathbb{U}$

A qualquer operação que tenha a propriedade anteriormente estabelecida chama-se uma operação fechada em $\mathbb{U}$.

• Axioma da associatividade da adição $\forall x,y,z\in \mathbb{U}, x+(y+z)=(x+y)+z$

• Axioma da comutatividade da adição $\forall x,y \in \mathbb{U}, x+y=y+x$

Inequações com somas/diferenças de módulos

Tomemos o exemplo seguinte:

Para resolver esta inequação, temos de utilizar uma tabela de módulos, atendendo aos pontos em que os módulos mudam de sinal. Assim, ficamos com os pontos $-2, 1 \text{ e } 3$.

É importante relembrar que quando se está a juntar as parcelas na linha $F(x)$ não se pode esquecer dos sinais que estavam inicialmente na inequação. É de notar também a simetria da expressão após passar pelo seu zero.

Através da tabela anterior, podemos escrever a seguinte expressão:

É de salientar que não se pode esquecer de fechar os intervalos, isto é, de incluir os pontos de separação na tabela anterior ($-2, 1 \text{ e } 3$), exceto nos casos em que estes não fazem do domínio.

No final, ao resolver a expressão anterior, obtemos o resultado de $[-4,0]$.

• Exemplo Exercício Inequação

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