Sucessões

Operações com sucessões
Sub-sucessões
Existência de sub-sucessões monótonas para qualquer sucessão
Sucessão convergente
Propriedades operatórias com limites
Sucessões definidas por recorrência
Teorema de Bolzano-Weierstrass
Teorema das Sucessões Enquadradas
- Aplicação do TSE a sucessões definidas por somatórios
Sucessão de Cauchy
Sucessão contrativa
- Verificar se uma sucessão é contrativa

DEFINIÇÃO

Sucessão limitada: O conjunto dos seus termos é limitado, isto é, é uma sucessão majorada e minorada.
Sucessão monótona: Quando uma sucessão é (estritamente) crescente ou (estritamente) decrescente. Por outras palavras, quando $u_{n+1}\ge u_n$ ou $u_{n+1}\le u_n$ , respetivamente.

Operações com sucessões

Podemos efetuar as seguintes operações com sucessões:

multiplicar por um escalar
somar e subtrair duas sucessões
multiplicar duas sucessões
dividir duas sucessões (com atenção de que o denominador nunca pode ser zero).

Também podemos, para uma sucessão $u_n$ real positiva, $\alpha\in\mathbb Q$ e $\{v_n\}\subset\mathbb Q$ , efetuar $(u_n)^\alpha$ e $(u_n)^{v_n}$ .

Sub-sucessões

Seja ( $u_n$ ) uma sucessão de números reais e ( $m_n$ ) uma sucessão estritamente crescente de números naturais positivos. Chama-se à sucessão de termo geral $v_n = u_{m_n}$ uma sub-sucessão de ( $u_n$ ).

Exemplo 1

u_n=1+(-1)^n\\ u_{2n}=2\\ u_{2n-1}=0

Exemplo 2

u_n=\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)\\ \text{ } \\ u_{3n}=\cos\left(2n\pi\right)=1\\ u_{3n+1}=\cos\left(2n\pi+\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}\\ u_{3n+2}=\cos\left(2n\pi+\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}

Utiliza-se as sub-sucessões para conseguir mais facilmente estudar uma sucessão, devido às seguintes propriedades:

Qualquer sub-sucessão de uma sucessão limitada é também limitada.
Qualquer sub-sucessão de uma sucessão monótona tem a mesma monotonia que a sucessão original.
Se uma família de sub-sucessões de uma mesma sub-sucessão é tal que a reunião dos seus termos é igual ao conjunto dos termos da sucessão original então se todas as sub-sucessões dessa família forem limitadas a sucessão original também o é.
Se duas sub-sucessões de uma mesma sucessão tiverem monotonias diferentes a sucessão original não é monótona. O mesmo se pode concluir se qualquer sub-sucessão da sucessão original não for monótona, evidentemente.

Existência de sub-sucessões monótonas para qualquer sucessão

TEOREMA

Existência de sub-sucessões monótonas para qualquer sucessão
Seja ( $u_n$ ) uma sucessão de números reais, então ( $u_n$ ) tem, pelo menos, uma sub-sucessão monótona (isto é, crescente ou decrescente)

Por exemplo, a sucessão $u_n=n\cdot(-1)^n$ não é monótona (é alternadamente positiva e negativa).
No entanto, as sub-sucessões

\begin{array}{ccc} u_{2n}=2n\cdot (-1)^{2n}=2n &\text{e}& u_{2n-1}=(2n-1)\cdot (-1)^{2n-1}=-2n+1 \end{array}

são, respetivamente, crescente e decrescente.
É sempre possível encontrar uma sub-sucessão que seja monótona. A justificação para tal encontra-se no PDF em anexo (aula 4).

É também importante relembrar que uma sucessão constante (e.g. $u_n=1$ ) também é monótona.

Sucessão convergente

Uma sucessão convergente é uma sucessão em que existe limite. Por outras palavras, significa que para uma ordem $n$ suficientemente grande (ou seja, $n → +\infin$ ou $n>>$ ), existe uma vizinhança para qualquer $r>0$ a que pertencem os termos de $u_n$ .

\forall _{r>0},\text{ }u_n\in V_r(a), n>>\\ \text{Caso a condição seja verdadeira:} \lim u_n=a

Qualquer sucessão que não seja convergente é divergente.

É também fácil de perceber que uma sucessão constante $u_n=K$ , é convergente.

Exemplo

Considerando a sucessão $u_n=\frac{1}{n}, n\in \mathbb N^+$ , podemos provar que é convergente:

u_n \in V_r(0) \Leftrightarrow |v_n-0|<r\Leftrightarrow \frac 1 n < r \underbrace\Leftrightarrow _{n>0 \land r>0} n>\frac 1 r

Então,

\exist p\in \mathbb N^+: p>\frac 1 r

Logo, para qualquer $n>p$ tem-se $\frac 1 n < r$ .

Infinitésimo: Diz-se que uma sucessão ( $u_n$ ) é um infinitésimo se $u_n → 0$

TEOREMA

Limitação das sucessões convergentes
Seja ( $u_n$ ) uma sucessão convergente, então ( $u_n$ ) é limitada.
Atenção que o contrário nem sempre se verifica.

Comportamento da relação de ordem na passagem ao limite: Sejam ( $u_n$ ) e ( $v_n$ ) duas sucessões convergentes, tem-se:

Se $\lim u_n<\lim v_n$ então $u_n<v_n$ para $n>>$
Se $u_n\le v_n$ para $n>>$ então $\lim u_n\le \lim v_n$
Se $u_n<v_n$ para $n>>$ então $\lim u_n \le \lim v_n$

Esta última propriedade pode-se exemplificar através das seguintes sucessões, representadas no gráfico:

$u_n=\frac{1}{n}$ e $v_n=\frac{1}{3n}$

Podemos intuitivamente perceber que $u_n>v_n,\forall n\in \mathbb N^+$ . No entanto, ambas as sucessões tendem para zero, isto é, $\lim u_n = \lim v_n = 0$ .

TEOREMA

Convergência das sub-sucessões das sucessões convergentes
Seja ( $u_n$ ) uma sucessão convergente, então qualquer sub-sucessão de ( $u_n$ ) é convergente para $\lim u_n$ .

DEFINIÇÃO

Sublimite de uma sucessão
Diz-se que $a$ é um sublimite de ( $u_n$ ) se existe uma sub-sucessão de ( $u_n$ ), ( $u_{m_n}$ ), tal que $u_{m_n}\rightarrow~a$ .

De acordo com esta última definição:

Se existir uma sub-sucessão nas condições da definição, existe um número infinito delas
Qualquer sucessão convergente só tem um sublimite (que é o limite da sucessão)

TEOREMA

Convergência das sucessões monótonas e limitadas
Seja ( $u_n$ ) uma sucessão de números reais que é monótona e é limitada, então ( $u_n$ ) é convergente.

Propriedades operatórias com limites

Assumindo que $u_n →a$ e $v_n→b$ :

$\lim (u_n \pm v_n)=a\pm b$
$\lim (u_n \times v_n)=a\times b$
$\lim (\frac {u_n} {v_n})=\frac a b$ (ver exceções na página 7 do PDF da aula 4 em anexo)
$\lim u_n = a \Rightarrow \lim |u_n|=|a|$
$\lim u_n^{v_n}=a^b$ , sendo que $a\in\mathbb R^+$ e $b\in\mathbb R$

Sucessões definidas por recorrência

Uma sucessão pode estar definida sem ser pelo seu termo geral $u_n$ .

Outra forma de definir uma sucessão é por recorrência. Por exemplo:

\begin{cases} u_1=1\\ u_{n+1}=\frac{u_n+3}2&,&n\in\mathbb N^+ \end{cases}

Nestas sucessões não é tão fácil determinar a sua monotonia, se é convergente ou não e, consequentemente, o seu limite. Nestes casos é importante recorrer à Indução Matemática.

Vejamos como determinar a monotonia da sucessão acima. Começamos ver os valores de $u_1$ e $u_2$ , de forma a percebermos se a sucessão irá ser crescente ou decrescente.

\begin{aligned} u_1=1&&u_2=\frac{u_1+3}2=2 \end{aligned}

Logo, se a sucessão for monótona, terá de ser crescente. Indo agora para a indução matemática, começamos por averiguar a base:

u_2>u_1\Leftrightarrow 2>1 \rightarrow \text{ Proposição verdadeira}

A etapa de indução é:

u_{n+1}>u_n\Rightarrow u_{n+2}>u_{n+1}\\ \text{ }\\ u_{n+1}>u_n\Rightarrow u_{n+1}+3>u_n+3\Rightarrow \frac{u_{n+1}+3}2>\frac{u_n+3}2\Rightarrow u_{n+2}>u_{n+1}

Logo, podemos concluir que a sucessão é estritamente crescente.

Para descobrirmos se a sucessão é convergente apenas precisamos de descobrir se é majorada, visto que é crescente. No entanto, como a sucessão está definida por recorrência, podemos tentar "adivinhar" um valor para a qual esta seja majorada. Conseguimos intuitivamente perceber que $u_n<3$ . Como tal, podemos recorrer à indução matemática para o provar:

u_1<3\Leftrightarrow 1<3\\\text{ }\\ u_n<3\Rightarrow u_{n+1}<3\\ u_n<3\Rightarrow u_n+3<3+3 \Rightarrow \frac{u_n+3}{2}<\frac{6}{2}\Rightarrow u_{n+1}<3

Logo, como a condição se prova para a base e é hereditária, conseguimos comprovar que a sucessão é majorada, logo é convergente. Infelizmente, isto não nos permite determinar $\lim u_n$ . No entanto, ao saber que a sucessão é convergente, podemos usar um método que nos permite descobrir $\lim u_n$ .

Como sabemos que ( $u_{n+1}$ ) é uma sub-sucessão de ( $u_n$ ) e que $\lim u_n = \lim u_{n+1}=a$ , podemos obter o valor de $a$ :

\lim u_{n+1}=\lim \frac{u_n+3}2\Leftrightarrow a=\frac{a+3}2\Leftrightarrow 2a=a+3\Leftrightarrow a=3\\ \lim u_n=\lim u_{n+1}=3

Teorema de Bolzano-Weierstrass

Teorema

Teorema de Bolzano-Weierstrass
Seja ( $u_n$ ) uma sucessão limitada, então ( $u_n$ ) tem pelo menos uma sub-sucessão convergente.

É fácil provar isto, se, tal como definido anteriormente, pensarmos que qualquer sucessão tem, pelo menos, uma sucessão monótona. Ora, se uma sucessão é monótona e limitada, então é convergente.

Teorema das Sucessões Enquadradas

Teorema

Teorema das Sucessões Enquadradas (TSE)
Sejam ( $u_n$ ), ( $v_n$ ) e ( $w_n$ ) sucessões de números reais tais que $u_n\le v_n \le w_n$ para $n>>$ , e $u_n\rightarrow a$ e $w_n \rightarrow a$ , para algum $a\in\mathbb R$ , então $v_n\rightarrow a$ .

Exemplos do uso do teorema

Pretende-se descobrir o limite da sucessão $u_n=\frac{\sin n}n$

-1\le\sin n\le1\Rightarrow -\frac 1 n\le \frac{\sin n}n \le\frac 1 n,\text{ }n\in\mathbb N^+

Como $-\frac 1 n$ e $\frac 1 n$ são infinitésimos, isto é, tendem para zero, podemos concluir que $u_n\rightarrow 0$ .

Teorema

Corolário do Teorema das Sucessões Enquadradas
Qualquer produto de uma sucessão limitada por um infinitésimo é um infinitésimo.

Aplicação do TSE a sucessões definidas por somatórios

Seja

u_n=\sum ^n _{k=1}\frac{k^2+1}{n^4+4k^4}

queremos determinar o limite desta sucessão.

Para tal, comecemos por construir o enquadramento da sucessão. Para tal, vamos utilizar a expressão no interior do somatório. Dado que, para qualquer $k\in\mathbb N^+$ tal que $1\le k \le n$ , se tem:

\frac {\overbrace{1^2+1}^{\text{Substituir }k\text{ por }1}} {\underbrace{n^4+4n^4}_{\text{Substituir }k\text{ por }n}}\le\frac{k^2+1}{n^4+4k^4}\le\frac{\overbrace{n^2+1}^{\text{Substituir }k\text{ por }n}}{\underbrace{n^4+4\times 1^4}_{\text{Substituir }k\text{ por }1}}\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow \frac2{5n^4}\le\frac{k^2+1}{n^4+4k^4}\le\frac{n^2+1}{n^4+4}

Podemos agora continuar a "construir" o enquadramento, adicionando os somatórios:

\sum^n_{k=1}\frac2{5n^4}\le\sum^n_{k=1}\frac{k^2+1}{n^4+4k^4}\le\sum^n_{k=1}\frac{n^2+1}{n^4+4}\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow \sum^n_{k=1}\frac2{5n^4}\le u_n\le\sum^n_{k=1}\frac{n^2+1}{n^4+4}

Como o valor de um somatório $\sum^n_{k=1}$ em que a expressão no seu "interior" não contenha $k$ é $n$ vezes a expressão no seu "interior", temos que:

n\times\frac2{5n^4}\le u_n\le n\times\frac{n^2+1}{n^4+4}\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow \frac2{5n^3}\le u_n\le \frac{n^3+n}{n^4+4}

Podemos agora determinar o limite de ambas as sucessões:

\frac2{5n^3}\rightarrow \frac2 5\times 0^3=0\\ \frac{n^3+n}{n^4+4}\rightarrow \frac{\frac1 n+\frac1 {n^3}}{1+\frac4 {n^4}}=\frac{0+0}{1+0}=0

Logo, pelo Teorema das Sucessões Enquadradas, $u_n\rightarrow0$ .

Sucessão de Cauchy

Definição

Sucessão de Cauchy
Seja ( $u_n$ ) uma sucessão de números reais, diz-se que ( $u_n$ ) é uma sucessão de Cauchy se, para qualquer real positivo $r\in\mathbb R^+$ , $|u_n-u_m|<r$ para $n,m>>$ .

Por outras palavras, isto significa que, para uma ordem $n$ e $m$ infinitamente grandes, o módulo da diferença entre os termos $u_n$ e $u_m$ deverá ser arbitrariamente pequena.

Teorema

Convergência das sucessões de Cauchy
Seja ( $u_n$ ) uma sucessão de números reais, então ( $u_n$ ) é convergente se e só se é uma sucessão de Cauchy.

No PDF da Aula 5 em anexo, páginas 8-9, encontra-se um exemplo de como averiguar se uma sucessão é uma sucessão de Cauchy.

Sucessão contrativa

Definição

Sucessão contrativa
Seja ( $u_n$ ) uma sucessão de números reais, diz-se que ( $u_n$ ) é contrativa se existir uma constante $C\in]0,1[$ tal que:

|u_{n+1}-u_n|\le C|u_n-u_{n-1}| \text{, para } n>>

Outra maneira mais simples de definir uma sucessão contrativa é dizer que, a partir de certa ordem ( $n>>$ ), a distância entre dois termos consecutivos diminui com uma taxa de contração não superior a $C$ , tornando-se assim, muito pequena.

Teorema

Convergência das sucessões contrativas
Seja ( $u_n$ ) uma sucessão contrativa de números reais, então ( $u_n$ ) é convergente.

Verificar se uma sucessão é contrativa

Tomemos como exemplo a sucessão

\begin{cases} u_1=-4\\ u_{n+1}=\sqrt{u_n+20} \end{cases}

Atendendo à definição de sucessão contrativa, podemos escrever o seguinte:

\begin{aligned} |u_{n+1}-u_n| &= |\sqrt{u_n+20}-\sqrt{u_{n-1}+20}|\\ &=\frac{|\sqrt{u_n+20}-\sqrt{u_{n-1}+20}|\times|\sqrt{u_n+20}+\sqrt{u_{n-1}+20}|}{\sqrt{u_n+20}+\sqrt{u_{n-1}+20}}\\ &=\frac{|u_n+20-(u_{n-1}+20)|}{\sqrt{u_n+20}+\sqrt{u_{n-1}+20}}\\ &=\frac{|u_n-u_{n-1}|}{\sqrt{u_n+20}+\sqrt{u_{n-1}+20}} \end{aligned}

Sabemos que para $n>2$ , $u_n\ge 0$ , de acordo com a sua expressão. Logo, conseguimos deduzir que $\sqrt{u_n+20}+\sqrt{u_{n-1}+20}\ge\sqrt{20}+\sqrt{20}$ (relembro que ao inverter, o sinal da inequação se altera). Daqui vem que:

\begin{darray}{c} \frac{|u_n-u_{n-1}|}{\sqrt{u_n+20}+\sqrt{u_{n-1}+20}}\le\frac{|u_n-u_{n-1}|}{\sqrt{20}+\sqrt{20}}\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow|u_{n+1}-u_n|\le\frac1 {2\sqrt{20}}|u_n-u_{n-1}|\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow|u_{n+1}-u_n|\le\frac{\sqrt 5} {20}|u_n-u_{n-1}| \end{darray}

Logo, como $C=\frac{\sqrt5}{20}\in]0, 1[$ , a sucessão é contrativa, sendo consecutivamente convergente.

Como é convergente, podemos dizer que se $u_n\rightarrow a\in\mathbb R$ então $u_{n+1}\rightarrow a$ , pois trata-se de uma sub-sucessão. Podemos assim determinar o limite da sucessão:

\lim u_n=\lim u_{n+1}\Leftrightarrow a=\sqrt{a+20}\Leftrightarrow a^2-a-20=0\Leftrightarrow a=5\lor a=-4

Como sabemos que a sucessão só tem termos positivos para $n>>$ , podemos concluir que $\lim u_n=5$ .

PDFs: