Campos Vetoriais

Integral de Linha de Campo Vetorial

Podemos alterar ligeiramente a expressão acima para obtermos outro resultado:

Exemplos

Considerando a parametrização $g$ e o campo vetorial $F$,

$$\begin{array}{lll} g(t)=(t,t) & t \in [0, 1] & F(x,y) = (1,x) \end{array}$$

Então podemos calcular o integral:

$$\begin{aligned} \int_C F \cdot \d g &= \int^1_0 F(g(t)) \cdot g'(t) \d t\\ &= \int^1_0 (1,t) \cdot (1,1)\d t\\ &= \int^1_0 (1 + t) \d t\\ &= \left[t + \frac{t^2}{2} \right]^1_0\\ &= \frac{3}{2} \end{aligned}$$

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Considerando a parametrização $h$ e o campo vetorial $F$,

$$\begin{array}{lll} h(t)=(t,t^2) & t \in [0, 1] & F(x,y) = (1,x) \end{array}$$

Então podemos calcular o integral:

$$\begin{aligned} \int_{C_2} F \cdot \d h &= \int^1_0 F(h(t)) \cdot h'(t) \d t\\ &= \int^1_0 (1,t) \cdot (1,2t) \d t\\ &= \int^1_0 (1 + 2t^2) \d t\\ &= \left[t + \frac{2t^3}{3} \right]^1_0\\ &= \frac{5}{3} \end{aligned}$$

Propriedades:

1. Se $g_1$ e $g_2$ são duas parametrizações da curva $C$ que percorrem a curva no mesmo sentido, o integral $\int_C F \cdot \d g_1 = \int_C F \cdot \d g_2$
2. Se $g_1$ e $g_2$ são duas parametrizações da curva $C$ que percorrem a curva em sentido contrário, o integral $\int_C F \cdot \d g_1 = - \int_C F \cdot \d g_2$
3. O valor do integral pode não depender só dos pontos inicial e final, mas também da curva

Interpretação física

Seja $F$ um campo de forças e uma partícula a percorrer um caminho $C$.

Então, temos que $\int_C F \cdot \d g$ é o trabalho realizado por $F$.

Segmento que une dois pontos

Por vezes, precisamos de considerar um caminho que une dois pontos. Para isso, podemos considerar a seguinte parametrização.

Sejam, por exemplo, $(1,2,3)$ e $(4,5,6)$ os pontos que queremos considerar, a parametrização será:

Campo Vetorial Conservativo

Um campo é conservativo se e só se o integral ao longo de qualquer curva fechada for 0.

Exemplo

Seja $F$ constante, isto é, $F = (F_1, \dots F_n)$ fixo

$$\begin{aligned} \int_C F \cdot \d \gamma &= \int^b_a F \cdot g'(t) \d t\\ &= \int^b_a (F_1 g_1'(t) + \dots F_n g_n'(t)) \d t\\ &= F_1 \int^b_a g'(t) \d t + \dots + F_n \int^b_a g_n'(t) \d t\\ &= F_1 [g_1(b) - g_1(a)] + \dots + F_n [g_n(b) - g_n(a)]\\ &= F \cdot (g(b) - g(a))\\ &= F\cdot (B-A) \end{aligned}$$

O valor do integral só depende dos extremos da curva, pelo que $F$ é conservativo.

Se $C$ for uma curva fechada, escreve-se $\int_C F \d g$ como $\oint_C F \d g$.

Assim temos que, para qualquer curva fechada, ser um campo conservativo é equivalente a $\oint_C F \d g = 0$.

Um campo conservativo é sempre um campo gradiente e vice-versa.

Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha

Demonstração

$$\begin{aligned} \int_C \nabla \phi \d g &= \int^b_a \nabla \phi (g(t)) \cdot g'(t) \d t\\ &= \int^b_a \frac{\d}{\d t}(\phi \circ g)(t) \d t\\ &= (\phi \circ g)(b) - (\phi \circ g)(a)\\ &= \phi(g(b)) - \phi(g(a))\\ &= \phi(B) - \phi(A) \end{aligned}$$

Corolário 1: Se $\phi: \R^n \to \R$, $C^1$, então $\nabla \phi$ é conservativo e $\nabla \phi: \R^n \to \R^n$

Corolário 2: Se $\phi: \R^n \to \R$, $C^1$, e $C$ for uma curva fechada ($B = A$, ou seja, o ponto inicial é o mesmo que o ponto final) então $\int_C \nabla \phi \d \gamma = 0$

Campo Gradiente

Um campo gradiente é sempre um campo conservativo e vice-versa.

Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, concluímos também que para qualquer campo gradiente,

Campo Fechado

Exemplo

Seja $F(x,y,z) = (y,x,1)$

$$\begin{array}{lll} \frac{\partial F_1}{\partial y} = 1 & \frac{\partial F_2}{\partial x} = 1 & \frac{\partial F_1}{\partial z} = 0\\ \frac{\partial F_3}{\partial x} = 0 & \frac{\partial F_2}{\partial z} = 0 & \frac{\partial F_2}{\partial y} = 0 \end{array}$$

Logo, $F$ é fechado.

Também se sabe que se $F$ for campo gradiente $F = \nabla \phi, \phi \in C^2$ então $F$ é fechado.

Assim, um campo vetorial gradiente é sempre fechado (e também conservativo, como foi dito acima).

Relações entre tipos de Campos Vetoriais

Sabemos o seguinte:

• Um campo vetorial gradiente é sempre fechado
• Um campo vetorial gradiente é sempre conservativo e vice versa
• Um campo vetorial fechado é gradiente/conservativo se é só se o seu domínio for simplesmente conexo
• O trabalho de um campo conservativo ao longo de uma curva fechada é sempre nulo

Tal pode ser resumido no seguinte esquema:

Vórtice

Também conhecido por ralo de banheira, o vórtice é um campo vetorial com o seguinte aspeto:

Visualmente, isto ficaria:

Podemos reparar que a norma do campo é maior quanto menor for a distância à origem.

• É fechado
• Não é gradiente

Exemplo

Seja o campo vetorial $F$:

$$F(x,y) = (\frac{y}{x^2+y^2}, -\frac{x}{x^2+y^2})$$

Será que $F$ é fechado? E é gradiente?

Vamos então ver se $F$ é fechado:

$$\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{y}{x^2+y^2}\right) = \frac{\partial}{\partial x} \left(-\frac{x}{x^2+y^2} \right)$$

$$\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{y}{x^2+y^2}\right) = \frac{(x^2+y^2)-y\cdot 2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$$

$$\frac{\partial}{\partial x} \left(-\frac{x}{x^2+y^2} \right) = \frac{-(x^2+y^2) + x\cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$$

Logo, $F$ é fechado.

Vejamos agora se $F$ é gradiente.
Se pegarmos num círculo, ou seja, numa curva fechada, sabemos que se $F$ é gradiente então o trabalho terá de ser nulo.

$$\begin{array}{lll} C=\{x^2+y^2 = 1\} & g(t) = (\cos t, \sin t) & t \in [0, 2\pi] \end{array}$$

$$\int_C F \d g = \int^{2\pi}_0 F(g(t)) \cdot g'(t) \d t$$

$$\begin{array}{ll} F(g(t)) = (\sin t, - \cos t) & g'(t) = (-\sin t, \cos t)\\ F(g(t)) \cdot g'(t) = -1 & \end{array}$$

$$\int_C F \d g = \int^{2\pi}_0 -1 \d t = -2\pi$$

Logo, como o trabalho é diferente de zero, $F$ não é gradiente.

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Exemplos globais

Considera-se $F(x,y) = \left(x^2 y, \frac{x^3}{3}\right)$.

a) $F$ é gradiente?

1. Começamos por verificar se $F$ é fechado:

   $$\begin{darray}{ll} \frac{\partial(x^2y)}{\partial y} = x^2 & \frac{\partial(\frac{x^3}{3})}{\partial x} = x^2 \end{darray}$$

   Então $F$ é fechado, pelo que ainda pode ser gradiente.

2. De seguida verificamos se $F$ é gradiente, isto é, se existe $\phi$ tal que $F = \nabla \phi$:

$$\begin{cases} \frac{\partial \phi}{\partial x} = x^2 y\\ \frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{x^3}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \phi(x,y) = \frac{x^3y}{3} + C(y)\\ \phi(x,y) = \frac{x^3}{3} \cdot y + D(x) \end{cases}$$

Por exemplo, considerando $C,D \equiv 0$, $\phi(x,y) = \frac{x^3y}{3}$, pelo que $\phi$ é um potencial de $F$.

Então, $F$ é gradiente.

b) Calcule $\int_C F \d g$, tal que $g:[0,1] \to \R^2$ é uma curva fechada

Como $g$ é uma curva fechada:

$$\int_C F \d g = \phi(B) - \phi (A) = 0$$

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Considerando o campo vetorial $F$ abaixo:

$$\begin{array}{ll} F(x,y,z) = (y+z, x+z, y+x) & F: \R^3 \to \R^3 \end{array}$$

1. $F$ é fechado?

$$\begin{darray}{l} \frac{\partial}{\partial y}(y+z) = \frac{\partial}{\partial x}(x+z) \Leftrightarrow 1 = 1\\\\ \frac{\partial}{\partial z}(y+z) = \frac{\partial}{\partial x}(x+z) \Leftrightarrow 1 = 1\\\\ \frac{\partial}{\partial z}(x+z) = \frac{\partial}{\partial y}(y+x) \Leftrightarrow 1 = 1 \end{darray}$$

Logo, $F$ é fechado.

2. $F$ é gradiente?

Por outras palavras, será que existe algum $\phi$ tal que $F$ = $\nabla \phi$?

$$\begin{cases} \frac{\partial \phi}{\partial x} = F_1 = y+z\\ \frac{\partial \phi}{\partial y} = F_2 = x+z\\ \frac{\partial \phi}{\partial z} = F_3 = x+y \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \phi(x,y,z) = (y+z) x + C_1(y,z)\\ \phi(x,y,z) = (x+z) y + C_2(x,z)\\ \phi(x,y,z) = (x+y) z + C_3(x,y) \end{cases}$$

$$\begin{aligned} \phi(x,y,z) &= xy+yz+zx\\ &=xy+zx+\overbrace{yz}^{C_1}\\ &=xy+zy+\overbrace{xz}^{C_2}\\ &=xz+yz+\overbrace{xy}^{C_3} \end{aligned}$$

3. Calcule o trabalho, ou seja, $\int_C F \d \vec g$, ao longo da curva $C = \{z=0, x=\frac{1+y^4}{2}, y \in [0,1]\}$

Como $F$ é conservativo, podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para facilmente calcular o trabalho:

• Ponto inicial $(\frac{1}{2}, 0, 0)$
• Ponto final $(1,1,0)$

$$\int_C F \d \vec g = \phi(1,1,0) - \phi\left(\frac{1}{2}, 0, 0\right) = (1+0+0) - (0+0+0) = 1$$

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Considerando o campo $F$,

$$\begin{array}{ll} F(x,y,z) = (y+x^3, y+x , e^z) & (x,y,z) \in \R^3 \end{array}$$

Será que $F$ é gradiente?

Vamos ver se $F$ é fechado:

$$\begin{darray}{ll} \frac{\partial(y+x^3)}{\partial y} = 1 & \frac{\partial (y+x)}{\partial x} = 1\\ \frac{\partial (y+x^3)}{\partial z} = 0 & \frac{\partial(e^z)}{\partial x} = 0\\ \frac{\partial(y+x)}{\partial z} = 0 & \frac{\partial (e^z)}{\partial y} = 0 \end{darray}$$

O domínio D de F é simplesmente conexo (é $\R^3$).
Logo $F$ é fechado e portanto é gradiente.

Calcule $\int_C F \d \vec g$, em que $C$ é a interseção de $z = x^2+y^2$ e $z=1$, considerando uma orientação qualquer.

$$\begin{cases} z = x^2+y^2\\ z= 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2+y^2 = 1\\ z= 1 \end{cases}$$

que corresponde a uma circunferência.

Logo, como a curva é fechada e o campo é conservativo, $\int_C F \d \vec g = 0$.

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