TFC e Teorema de Leibniz

Teorema Fundamental do Cálculo
Teorema de Leibniz

Teorema Fundamental do Cálculo

Relembrando o TFC de CDI 1, que nos vai ser útil em conjunto com o Teorema de Leibniz.

TEOREMA

Seja

F(x) = \int^{b(x)}_{a(x)} f(t) \d t

Então,

F'(x) = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)

Teorema de Leibniz

Então, vejamos o Teorema de Leibnitz, que nos permite calcular a derivada de uma função do tipo

F(t) = \int^b_a f(x,t) \d x

em que não conseguimos facilmente primitivar $f(x,t)$ .

TEOREMA

Seja $f: \R^2 \to \R, C^1$ e $F: \R \to \R$ .

Sabendo que

F(t) = \int^b_a f(x,t) \d x

então temos que

F'(t) = \int^b_a \frac{\partial f}{\partial t}(x,t) \d x

Exemplo

F(t) = \int^3_0 e^{-tx^2}\d x

O problema é que $e^{-tx^2}$ não tem primitiva que se consiga escrever explicitamente.

Qual é o valor de $F'(0)$ ?

Recorrendo então ao Teorema de Leibniz, podemos escrever

\begin{aligned} F'(t) &= \frac{\d F}{\d t} (t)\\ &= \frac{\d}{\d t} \left(\int^3_0 e^{-tx^2} \d x \right)\\ &= \int^{3}_0 \frac{\partial}{\partial t}\left(e^{-tx^2}\right) \d x\\ &= \int^{3}_0 \left(-x^2 e^{-tx^2}\right) \d x \end{aligned}

Então, podemos agora calcular o valor de $F'(0)$ :

F'(0) = - \int^3_0 x^2 = - \left[\frac{x^3}{3} \right]^3_0 = -9

Outra aplicação do Teorema de Leibnitz é aplicá-lo juntamente com o Teorema Fundamental do Cálculo e com a Regra da Cadeia.

Sabendo que

H(x) = \int^{b(x)}_{a(x)} f(x,y) \d y

podemos obter a derivada desta função através da seguinte fórmula:

H'(x) = f(x, b(x)) \cdot b'(x) - f(x, a(x)) \cdot a'(x) + \int^{b(x)}_{a(x)} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \d y

A demonstração desta fórmula encontra-se nos slides da aula 26.

Exemplo (correspondente ao exercício 9 da ficha 7)

Seja o conjunto $V_t$ e a função $F(t)$

V_t = \{(x,y,z) \in \R^3: 1 \leq x^2 + y^2 \leq t \quad, \quad 0 \leq z \leq 1 \quad,\quad y>0\}

F(t)=\int\int\int_{V_t} \frac{e^{t(x^2+y^2)}}{x^2+y^2} \d x \d y \d z

Qual o valor de $F'(4)$ ?

Começamos por identificar o tipo de sólido e se é preciso efetuar transformação de coordenadas.
Neste caso, como $V_t$ é de revolução, usamos as coordenadas cilíndricas.

\begin{array}{ll} \begin{cases} x = r \cos \theta\\ y = r \sin \theta\\ z = z \end{cases} & |\det Dg| = r \end{array}

Chegamos então às seguintes restrições:

\begin{darray}{c} 1 \leq x^2+y^2 \leq t \Leftrightarrow 1 \leq r^2 \leq t \Leftrightarrow 1 \leq r \leq \sqrt{t}\\ 0 \leq z \leq 1\\ y > 0 \Leftrightarrow r \sin \theta > 0 \Leftrightarrow \sin \theta > 0\Leftrightarrow \theta \in ]0, \pi[ \end{darray}

Podemos agora escrever $F(t)$ em coordenadas cilíndricas:

\begin{aligned} F(t)&= \int^{\pi}_0 \int^{\sqrt{t}}_1 \int^1_0 \frac{e^{tr^2}}{r^2} \cdot r \d z \d r \d \theta\\ &= \int^{\pi}_0 \int^{\sqrt{t}}_1 \frac{e^{tr^2}}{r} \d r \d \theta\\ &= \int^{\sqrt{t}}_1 \int^{\pi}_0 \frac{e^{tr^2}}{r} \d \theta \d r\\ &= \int^{\sqrt{t}}_1 \frac{\pi e^{tr^2}}{r} \d r \end{aligned}

Chegamos um integral cuja função no interior não é fácil de primitivar.
Podemos então recorrer ao Teorema de Leibnitz, ao Teorema Fundamental do Cálculo e à Regra da Cadeia para determinar a expressão de $F'(t)$ :

\begin{aligned} F'(t) &= \overbrace{\frac{\pi e^{tr^2}}{r} |_{r=\sqrt{t}} \cdot (\sqrt{t})'}^{\text{TFC}} + \overbrace{\int^{\sqrt t}_{1} \frac{\partial }{\partial t} \frac{\pi e^{tr^2}}{r} \d r}^{\text{Leibnitz}}\\ &=\frac{\pi e^{t^2}}{\sqrt t} \cdot \frac{1}{2\sqrt t} + \int^{\sqrt t}_1 \frac{r^2 e^{tr^2}}{r} \cdot \pi \d r \end{aligned}

Finalmente, determinamos o valor de $F(4)$ :

\begin{aligned} F'(4) &= \frac{\pi e^{16}}{8} + \pi \int^2_1 r e^{4r^2}\d r\\ &= \frac{\pi e^{16}}{8} + \frac{\pi}{8} \int^2_1 8r e^{4r^2}\d r\\ &= \frac{\pi e^{16}}{8} + \frac{\pi}{8} \left[e^{4r^2} \right]^2_1\\ &= \frac{\pi e^{16}}{8} + \frac{\pi}{8} \left(e^{16} - e^4 \right)\\ &= \frac{\pi}{8} \left(2e^{16} - e^4 \right) \end{aligned}

Slides:

Aula 26