Calendário - Início

Introdução

Ano Trópico

O ano trópico corresponde ao período entre duas ocorrências sucessivas do equinócio da Primavera (ou seja, ao período que decorre enquanto a Terra dá uma volta exata ao Sol ). 1 ano trópico tem (aproximado aos segundos).

Sempre foi interessante aos humanos regular os seus afazeres em função dos astros (devido a períodos de colheitas e outros) pelo que é interessante regular esta informação num calendário. O ano de um calendário deverá então ser o mais próximo possível de um ano trópico.

Calendário Juliano

• Uma boa aproximação de um ano trópico é $365 + \frac{1}{4}$ dias;
• Cada ano tem 365 dias, com exceção dos anos bissextos que têm 366 dias;
• Os anos bissextos acontecem de 4 em 4 anos.

Calendário Gregoriano

Calendário usado em Portugal e pela maioria dos países Ocidentais.

• Observa que a diferença entre o ano Juliano e o ano trópico é suficiente para que o primeiro esteja desajustado com os astros ao fim de algumas centenas de anos;

• Propõe uma melhor aproximação: um ano trópico tem $365 + \frac{1}{4} - \frac{1}{100} + \frac{1}{400} = 365 + \frac{97}{400}$ dias;

• Anos de 365 dias e anos bissextos de 366 dias;

• Os anos bissextos acontecem de 4 em 4 anos, mas não de 100 em 100. Contudo, de 400 em 400 temos, novamente, um ano bissexto;

• Em outubro de 1582, foram omitidos 10 dias do calendário.

Exemplos - Bissexto Gregoriano

1. Ano 1900 não é bissexto. (1900 % 100 = 0)

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2. Ano 2000 é bissexto. (2000 % 400 = 0)

Calcular Dia da Semana

Número/Letra dominical

O número (ou letra) dominical de um ano, $N$, é o dia do primeiro domingo desse ano.
Abaixo, encontra-se a tabela que associa cada número dominical à sua letra dominical.

Os calendários Gregoriano e Juliano têm, entre si, uma fórmula diferente para calcular o número dominical de um dado ano. Isto deve-se ao facto de terem anos bissextos diferentes.
Segue-se a fórmula para cada um destes calendários.

Juliano

Para um ano $\lambda_j$, o número dominical $N_j$ é dado por:

Porquê $\lambda_j + 4$? Porque o ano 1 do calendário Juliano começou num sábado (1/1/1 foi um sábado), de forma que o primeiro domingo teve letra B e número dominical 2. Então, o número dominical no geral é dado pelo número dominical no primeiro ano (2) menos o número de regressões (ver nota2) que houve até o ano em consideração:

que corresponde à fórmula acima.

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Gregoriano

Para um ano $\lambda_g$, o número dominical $N_g$ é dado por:

Porquê $\lambda_j - 1$? Porque o ano 1 do calendário Gregoriano começou numa segunda-feira (1/1/1 foi uma segunda-feira), de forma que o primeiro domingo teve letra G e número dominical 7. Então, o número dominical no geral é dado pelo número dominical no primeiro ano (7) menos o número de regressões (ver nota2) que houve até o ano em consideração:

que corresponde à fórmula acima. Note-se que isto não conta com os 10 dias que foram omitidos neste calendário. O professor não mencionou este facto pelo que suponho que o facto de o primeiro dia do primeiro ano ter sido uma segunda-feira já seja a contar com este facto.

NOTA1: $\%$ representa o resto da divisão e $\div$ a divisão inteira.

NOTA2: Todos os anos "normais" (com 365 dias) o número dominical recua em uma unidade. Isto deve-se ao facto que $365 \% 7 = 1$. Nos anos com 366 dias (tanto num calendário como outro) o número dominical recua em duas unidades já que há mais um dia no ano.

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Número/Letra Calêndrica

Seja $C$ o número calêndrico do dia $d$ do mês $m$,

onde,

Na seguinte tabela, encontra-se a letra calêndrica do primeiro dia de cada mês ($L_m$).

Passa-se de $L_m$ para $F_m$ com a ajuda da tabela 1.

Recomenda-se a consulta desta tabela durante os testes, já que isso é permitido.
Contudo, existe um método para calcular $F_m$ sem consulta.

Método sem consulta

Seja $m$ o mês que queremos calcular, $n_m$ o número desse mês no calendário e $k_m$ o número de dias do mês $m$,

1. Se $m$, em inglês, tem vogal no início ou no fim:

$$F_m = 11 - n_m$$

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2. Caso geral,

$$F_m = (F_{m-1} + k_{m-1})\% 7$$

Relembrar que $F_{\text{janeiro}} = A.$

Exemplos:

1. Abril ( April )
   Como o mês em inglês começa com vogal,
   

   $$F_{\text{abril}}=11-4=7$$

   Podemos verificar na tabela 2 que a letra calêndrica do 1º dia de abril é G $\checkmark$.

2. Maio ( May )
   Como o mês em inglês não começa, nem acaba, em vogal, usamos o método recursivo.

$$F_{\text{maio}}=(F_{\text{abril}} + k_{\text{abril}})\% 7 = (7+30)\% 7 = 2$$

Podemos verificar na tabela 2 que a letra calêndrica do 1º dia de maio é B $\checkmark$.

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Cálculo do dia da semana

Seja $W$ o dia da semana de uma certa data de mês $m$ e ano $\lambda$, com número calêndrico $C$ e número dominical $N$, $W$ é dado por:

Caso $\lambda$ seja bissexto e $m$ janeiro ou fevereiro:

Caso contrário:

Faz sentido, pois janeiro e fevereiro, em anos bissextos, decorrem antes do dia extra (29 de fevereiro).

Exemplo

1. Queremos determinar o dia da semana de 7 de setembro de 2021, no Calendário Gregoriano.

$$N = 7 - ((2021 -1)+(2021 \div 4)-(2021 \div 100)+(2021 \div 400))\%7 \\ = 7 - (2020 + 505 - 20 + 5)\% 7 = 7 - 4 = 3$$

(Usando método sem consulta para calcular $F_{\text{setembro}}$)
Como setembro (September) não começa nem acaba em vogal em inglês, temos de usar o método recursivo para calcular $F_{\text{setembro}}$
Agosto (August), por outro lado, começa com vogal em inglês, logo,

$$F_{\text{setembro}} = (F_{\text{agosto}} + k_{\text{agosto}})\% 7 = ((11-8) + 31)\% 7 = 6$$

Logo,

$$C = 1 + (R-2)\%7 = 1 + ((6+7)-2)\%7 = 1 + 4 = 5$$

Por fim, como não estamos a calcular uma data de janeiro ou fevereiro num ano bissexto,

$$W = 1 + (C-N+7)\% 7 = 1 + (5-3+7)\% 7 = 1 + 9\%7 = 3$$

Podemos concluir que 7 de setembro de 2021 calha a uma 3ª-feira, no calendário Gregoriano.