A perturbação direta consiste em obter o valor de S n + 1 S_{n+1} S n + 1
Vamos então ver um exemplo:
S n = ∑ k = 0 n 2 k S_n= \sum^n_{k=0} 2^k S n = k = 0 ∑ n 2 k Para calcularmos S n S_n S n S n + 1 S_{n+1} S n + 1
Retirando o último elemento (simples)
Retirando o primeiro elemento (complicado)
Retirar o último elemento é muito simples:
S n + 1 = ∑ k = 0 n + 1 2 k = ∑ k = 0 n 2 k + 2 n + 1 = S n + 2 n + 1 S_{n+1} = \sum^{n+1}_{k=0} 2^k = \sum^n_{k=0} 2^k + 2^{n+1} = S_n + 2^{n+1} S n + 1 = k = 0 ∑ n + 1 2 k = k = 0 ∑ n 2 k + 2 n + 1 = S n + 2 n + 1 Retirar o primeiro elemento pode revelar-se trabalhoso, mas neste exemplo é relativamente simples:
S n + 1 = ∑ k = 0 n + 1 2 k = 2 0 + ∑ k = 1 n + 1 2 k = 1 + ∑ k = 0 n 2 k + 1 = 1 + ∑ k = 0 n ( 2 k × 2 ) = = 1 + 2 ∑ k = 0 n 2 k = 1 + 2 S n S_{n+1} =\sum ^{n+1}_{k=0} 2^{k} =2^{0} +\sum ^{n+1}_{k=1} 2^{k} =1+\sum ^{n}_{k=0} 2^{k+1} =1+\sum ^{n}_{k=0}\left( 2^{k} \times 2\right) =\\
=1+2\sum ^{n}_{k=0} 2^{k} =1+2S_{n} S n + 1 = k = 0 ∑ n + 1 2 k = 2 0 + k = 1 ∑ n + 1 2 k = 1 + k = 0 ∑ n 2 k + 1 = 1 + k = 0 ∑ n ( 2 k × 2 ) = = 1 + 2 k = 0 ∑ n 2 k = 1 + 2 S n Juntamos agora ambas as expressões, e resolvemos em ordem a S n S_n S n
S n + 2 n + 1 = 1 + 2 S n ⇔ S n = 2 n + 1 − 1 S_{n} +2^{n+1} =1+2S_{n} \Leftrightarrow S_{n} =2^{n+1} -1 S n + 2 n + 1 = 1 + 2 S n ⇔ S n = 2 n + 1 − 1 Calculámos assim o valor do somatório, S n = 2 n + 1 − 1 S_{n} = 2^{n+1} -1 S n = 2 n + 1 − 1
MAIS EXEMPLOS
É possível encontrar mais exemplos de perturbação direta nos exercícios 1.1.1 da Ficha Séries 1 .
Por vezes, não é possível calcular o valor do somatório pois o método da perturbação direta é inconclusivo.
∑ k = 0 n k 2 \sum^n_{k=0} k^2 k = 0 ∑ n k 2 INCONCLUSIVO
Podemos tentar fazer os cálculos pelo método da perturbação direta, mas o resultado vai ser inconclusivo:
S n + 1 = ∑ k = 0 n + 1 k 2 = ∑ k = 0 n k 2 + ( n + 1 ) 2 = S n + ( n + 1 ) 2 S_{n+1} =\sum ^{n+1}_{k=0} k^{2} =\sum ^{n}_{k=0} k^{2} +( n+1)^{2} =S_{n} +( n+1)^{2} S n + 1 = k = 0 ∑ n + 1 k 2 = k = 0 ∑ n k 2 + ( n + 1 ) 2 = S n + ( n + 1 ) 2 S n + 1 = ∑ k = 0 n + 1 k 2 = 0 + ∑ k = 1 n + 1 k 2 = ∑ k = 0 n ( k + 1 ) 2 = ∑ k = 0 n ( k 2 + 2 k + 1 ) = = ∑ k = 0 n k 2 + 2 ∑ k = 0 n k + ∑ k = 0 n 1 = S n + 2 ∑ k = 0 n k + ( n + 1 ) S_{n+1} =\sum ^{n+1}_{k=0} k^{2} =0+\sum ^{n+1}_{k=1} k^{2} =\sum ^{n}_{k=0}( k+1)^{2} =\sum ^{n}_{k=0}\left( k^{2} +2k+1\right) =\\
=\sum ^{n}_{k=0} k^{2} +2\sum ^{n}_{k=0} k+\sum ^{n}_{k=0} 1=S_{n} +2\sum ^{n}_{k=0} k+( n+1) S n + 1 = k = 0 ∑ n + 1 k 2 = 0 + k = 1 ∑ n + 1 k 2 = k = 0 ∑ n ( k + 1 ) 2 = k = 0 ∑ n ( k 2 + 2 k + 1 ) = = k = 0 ∑ n k 2 + 2 k = 0 ∑ n k + k = 0 ∑ n 1 = S n + 2 k = 0 ∑ n k + ( n + 1 ) O problema é que ao juntar ambas as expressões, os S n S_n S n
S n + ( n + 1 ) 2 = S n + 2 ∑ k = 0 n k + ( n + 1 ) ⇔ ( n + 1 ) 2 = 2 ∑ k = 0 n k + ( n + 1 ) S_{n} +( n+1)^{2} =S_{n} +2\sum ^{n}_{k=0} k+( n+1) \Leftrightarrow ( n+1)^{2} =2\sum ^{n}_{k=0} k+( n+1) S n + ( n + 1 ) 2 = S n + 2 k = 0 ∑ n k + ( n + 1 ) ⇔ ( n + 1 ) 2 = 2 k = 0 ∑ n k + ( n + 1 ) Então como é que podemos resolver este problema?∑ k = 0 n k 2 \displaystyle \sum^n_{k=0}k^2 k = 0 ∑ n k 2 ∑ k = 0 n k \displaystyle \sum^n_{k=0}k k = 0 ∑ n k
S n + ( n + 1 ) 2 = S n + 2 ∑ k = 0 n k + ( n + 1 ) ⇔ ( n + 1 ) 2 = 2 ∑ k = 0 n k + ( n + 1 ) ⇔ ⇔ 2 ∑ k = 0 n k = n 2 + 2 n + 1 − ( n + 1 ) ⇔ ∑ k = 0 n k = n 2 + n 2 S_{n} +( n+1)^{2} =S_{n} +2\sum ^{n}_{k=0} k+( n+1) \Leftrightarrow ( n+1)^{2} =2\sum ^{n}_{k=0} k+( n+1) \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow 2\sum ^{n}_{k=0} k=n^{2} +2n+1-( n+1) \Leftrightarrow \sum ^{n}_{k=0} k=\frac{n^{2} +n}{2} S n + ( n + 1 ) 2 = S n + 2 k = 0 ∑ n k + ( n + 1 ) ⇔ ( n + 1 ) 2 = 2 k = 0 ∑ n k + ( n + 1 ) ⇔ ⇔ 2 k = 0 ∑ n k = n 2 + 2 n + 1 − ( n + 1 ) ⇔ k = 0 ∑ n k = 2 n 2 + n O que acontece então se tentarmos calcular o valor de ∑ k = 0 n k 3 \displaystyle \sum^n_{k=0}k^3 k = 0 ∑ n k 3
S n ′ = ∑ k = 0 n k 3 S'_{n} =\sum ^{n}_{k=0} k^{3} S n ′ = k = 0 ∑ n k 3 S n + 1 ′ = ∑ k = 0 n + 1 k 3 = ∑ k = 0 n k 3 + ( n + 1 ) 3 = S n ′ + ( n + 1 ) 3 S'_{n+1} =\sum ^{n+1}_{k=0} k^{3} =\sum ^{n}_{k=0} k^{3} +( n+1)^{3} =S'_{n} +( n+1)^{3} S n + 1 ′ = k = 0 ∑ n + 1 k 3 = k = 0 ∑ n k 3 + ( n + 1 ) 3 = S n ′ + ( n + 1 ) 3 S n + 1 ′ = ∑ k = 0 n + 1 k 3 = 0 + ∑ k = 1 n + 1 k 3 = ∑ k = 0 n ( k + 1 ) 3 = ∑ k = 0 n ( k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 ) = = ∑ k = 0 n k 3 + 3 ∑ k = 0 n k 2 + 3 ∑ k = 0 n k + ∑ k = 0 n 1 = S n ′ + 3 S n + 3 ∑ k = 0 n k + ( n + 1 ) S'_{n+1} =\sum ^{n+1}_{k=0} k^{3} =0+\sum ^{n+1}_{k=1} k^{3} =\sum ^{n}_{k=0}( k+1)^{3} =\sum ^{n}_{k=0}\left( k^{3} +3k^{2} +3k+1\right) =\\
=\sum ^{n}_{k=0} k^{3} +3\sum ^{n}_{k=0} k^{2} +3\sum ^{n}_{k=0} k+\sum ^{n}_{k=0} 1=S'_{n} +3S_{n} +3\sum ^{n}_{k=0} k+( n+1) S n + 1 ′ = k = 0 ∑ n + 1 k 3 = 0 + k = 1 ∑ n + 1 k 3 = k = 0 ∑ n ( k + 1 ) 3 = k = 0 ∑ n ( k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 ) = = k = 0 ∑ n k 3 + 3 k = 0 ∑ n k 2 + 3 k = 0 ∑ n k + k = 0 ∑ n 1 = S n ′ + 3 S n + 3 k = 0 ∑ n k + ( n + 1 ) Parece que vamos conseguir obter o valor de S n S_n S n ∑ k = 0 n k \displaystyle \sum ^{n}_{k=0} k k = 0 ∑ n k ∑ k = 0 n k 2 \displaystyle \sum ^{n}_{k=0} k^2 k = 0 ∑ n k 2
S n ′ + ( n + 1 ) 3 = S n ′ + 3 S n + 3 ∑ k = 0 n k + ( n + 1 ) ⇔ ⇔ 3 S n = ( n + 1 ) 3 − 3 ( n 2 + n 2 ) − ( n + 1 ) ⇔ ⇔ S n = ( n + 1 ) 3 3 − n 2 + n 2 − n + 1 2 ⇔ ⇔ … ⇔ S n = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 S'_{n} +(n+1)^{3} =S'_{n} +3S_{n} +3\sum ^{n}_{k=0} k+( n+1) \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow 3S_{n} =( n+1)^{3} -3\left(\frac{n^{2} +n}{2}\right) -( n+1) \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow S_{n} =\frac{( n+1)^{3}}{3} -\frac{n^{2} +n}{2} -\frac{n+1}{2} \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow \dotsc \Leftrightarrow S_{n} =\frac{n( n+1)( 2n+1)}{6} S n ′ + ( n + 1 ) 3 = S n ′ + 3 S n + 3 k = 0 ∑ n k + ( n + 1 ) ⇔ ⇔ 3 S n = ( n + 1 ) 3 − 3 ( 2 n 2 + n ) − ( n + 1 ) ⇔ ⇔ S n = 3 ( n + 1 ) 3 − 2 n 2 + n − 2 n + 1 ⇔ ⇔ … ⇔ S n = 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) MAIS EXEMPLOS
É possível encontrar mais exemplos de perturbação indireta nos exercícios 1.1.2 da Ficha Séries 1 .