Teorema de Newton

Teorema de Newton
Resolução de Exemplos
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Teorema de Newton

Seja $p_n$ um polinómio geral:

p_n=p_0+b_1n+b_2n^2+b_3n^3+\dots+b_rn^r,\qquad b_r\neq 0

Repare-se que se quiséssemos, por exemplo, a segunda derivada de $p_n$ :

\Delta^2p_n=\Delta\Delta p_n=\Delta(p_{n+1}-p_n)=p_{n+2}-2p_{n+1}+p_n

Agora, toma-se a expansão de $p_n$ e deriva-se termo a termo:

p_n=p_0+a_1n^{\underline{1}}+a_2n^{\underline{2}}+a_3n^{\underline{3}}+a_4n^{\underline{4}}+\dots+a_rn^{\underline{r}} \\ \Delta p_n=a_1+2\times a_2n^{\underline{1}}+3\times a_3n^{\underline{2}}+4 \times a_4n^{\underline{3}}+\dots+r \times a_rn^{\underline{r-1}}\\ \Delta^2 p_n=2\times a_2+3\times 2\times a_3n^{\underline{1}}+4 \times 3\times a_4n^{\underline{2}}+\dots+r\times (r-1) \times a_rn^{\underline{r-2}}\\ \vdots\\ \Delta^rp_n=r!a_r

Note-se que:

\Delta p_0=(\Delta p_n)_{n=0}

Tem-se então:

\Delta p_0=1!\times a_1 \\ \Delta^2p_0=2!\times a_2 \\ \Delta^3p_0=3!\times a_3 \\ \dots\\ \Delta^rp_0=r!\times a_r \Leftrightarrow a_r=\frac 1 {r!}\Delta^r p_0

Donde agora se pode obter como expressão geral para um polinómio, o teorema de newton:

p_n=p_0+\Delta p_0n^{\underline 1}+ \frac 1 {2!}\Delta^2p_0n^{\underline 2} + \frac 1 {3!}\Delta^3p_0n^{\underline 3} + \dots \frac 1 {r!}\Delta^rp_0n^{\underline r}

Agora, pode-se resolver problemas como os seguintes:

Resolução de Exemplos

1)

Começa-se por dispor os dados conhecidos por linhas

A seguir, expande-se a tabela para incluir as linhas anteriores através de contas simples visto que, por exemplo, $\Delta^2=\Delta^1_{n+1}-\Delta^1_{n}$ . Assume-se também que a segunda derivada permanecerá constante, e que, por consequência, a terceira será nula. obtendo-se o seguinte: