Formulário

Corpo Rígido

s = r\theta \quad\Leftrightarrow\quad \theta = \frac{s}{r}

onde $s$ é o comprimento do arco, $r$ é o raio e $\theta$ é o ângulo (em radianos).

Tem-se que $\theta$ é positivo no sentido contrário ao sentido dos ponteiros do relógio e negativo no sentido dos ponteiros do relógio.

Nome	Fórmula	Unidades
Posição Angular	$\theta$	$\op{rad}$
Deslocamento Angular	$\Delta\theta = \theta_f - \theta_i$	$\op{rad}$
Velocidade Angular	$\omega = \frac{\d\theta}{\d t}$	$\op{rad}/\op{s} = \op{s}^{-1}$
Aceleração Angular	$\alpha = \frac{\d\omega}{\d t} = \frac{\d^2\theta}{\d t^2}$	$\op{rad}/\op{s}^2 = \op{s}^{-2}$
Velocidade Tangencial	$v = r\omega$	$\op{m}/\op{s}$
Aceleração Tangencial	$a_t = r\alpha$	$\op{m}/\op{s}^2$
Aceleração Centrípeta	$a_c = \frac{v^2}{r} = r\omega^2$	$\op{m}/\op{s}^2$

Todas as partículas de um objeto a rodar em torno de um eixo fixo têm a mesma $\omega$ e $\alpha$ , mas não têm as mesmas $v$ e $a_t$ visto o $r$ diferir.

Produto Externo

Para determinar o sentido de $\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B}$ , usa-se a Regra da Mão Direita:

Estender a mão na direção de $\vec{A}$ (quase que como a dar um "passou-bem" nessa direção)
Enrolar os dedos na direção de $\vec{B}$ (fazer o ângulo mais pequeno entre $\vec{A}$ e $\vec{B}$ )
O polegar indica o sentido de $\vec{C}$ (para cima ou para baixo, se $\vec{A}$ e $\vec{B}$ estiverem num plano horizontal)

Tem-se que:

$\vec{A} \times \vec{B} = - \vec{B} \times \vec{A}$ (não é comutativo)
$\vec{A}$ paralelo a $\vec{B} \implies \vec{A} \times \vec{B} = 0$ (e, portanto, o produto externo de um vetor com ele próprio é 0)
$\vec{A}$ perpendicular a $\vec{B} \implies \vec{A} \times \vec{B} = AB$ (e, portanto, o produto externo de um vetor com ele próprio é o vetor próprio)
$\frac{\d}{\d t}(\vec{A} \times \vec{B}) = \frac{\d\vec{A}}{\d t}\times \vec{B} + \vec{A}\times\frac{\d \vec{B}}{\d t}$

Nome	Fórmula	Unidades	Análogo em Translações
Momento de Inércia	$I = \int r^2 \d m$	$\op{kg}\cdot \op{m}^2$	Massa, $m$
Energia Cinética Rotacional	$E_c = \frac{1}{2}\smartcolor{orange}{I}\omega^2$	$\op{J}$	Energia Cinética Linear, $E_c = \frac{1}{2}mv^2$
Torque	$\vec{\tau} = \vec{F}\times\vec{r}$	$\op{N}\cdot\op{m}$	Força Externa, $\vec{F_{ext}} = m\vec{a_{CM}}$
Momento Angular	$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = I\vec{\omega}$	$\op{kg}\cdot\op{m^2}\cdot\op{s^{-1}}$	Momento Linear, $\vec{p} = m\vec{v}$

Momento de Inércia

O Momento de Inércia é dado por:

I = \sum_i r_i^2m_i = \int r^2 \d m

Apesar da fórmula acima funcionar sempre, algumas fórmulas podem ser mais simples:

Objeto	Eixo	$I_{CM}$ , Momento de Inércia no Centro de Massa
Arco Fino	Ortogonal pelo centro	$MR^2$
Arco Fino	Através do diâmetro	$\frac{1}{2}MR^2 + \frac{1}{12}Mh^2$
Disco ou Cilindro Sólido	Ortogonal pelo centro	$\frac{1}{2}MR^2$
Disco ou Cilindro Oco	Ortogonal pelo centro	$\frac{1}{2}M(R_1^2 + R_2^2)$
Esfera Uniforme Sólida	Através do centro	$\frac{2}{5}MR^2$
Superfície Esférica Fina	Através do centro	$\frac{2}{3}MR^2$
Vara Longa e Fina	Ortogonal pelo centro	$\frac{1}{12}M\ell^2$
Vara Longa e Fina	Ortogonal por uma ponta	$\frac{1}{3}M\ell^2$
Placa Retangular	Ortogonal pelo centro	$\frac{1}{12}M(w^2 + \ell^2)$

onde $M$ é a massa, $R$ ou $R_1 < R_2$ são os raios, $h$ é a espessura, $w$ é a largura e $\ell$ é o comprimento.

O Teorema do Eixo-Paralelo diz que o momento de inércia através de qualquer eixo paralelo a um que passe no centro de massa a uma distância $D$ é dado por:

I = I_{CM} + MD^2

Torque

O Torque ( $\vec{\tau}$ ou $\vec{N}$ ), ou Momento de Força, mede a tendência de um objeto rodar sobre um eixo.

\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}

onde $\vec{F}$ é a força aplicada e $\vec{r}$ é o vetor entre o ponto pivot e o ponto de aplicação de $\vec{F}$ .

A sua magnitude é dada por

\tau = Fr\sin\phi = Fd

onde $d = r\sin\phi$ é a distância perpendicular entre o ponto pivot e a linha de ação de $\vec{F}$ (reta que a prolonga para ambos os lados).

Não confundir torque com força: são diferentes. O torque tem unidades $\op{N}\cdot\op{m}$ por ser uma força multiplicada por uma distância.

tip

\sum\tau = I\alpha

é o análogo rotacional da segunda lei de Newton, $\sum F = ma$ .

Momento Angular

O Momento Angular é dado por:

\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\quad\text{ou}\quad\vec{L} = I\vec{\omega}

sendo a sua magnitude dada por $L = mvr\sin\phi$ , onde $\phi$ é o ângulo entre $\vec{r}$ e $\vec{p}$ .

Tem-se também que:

\sum\vec{\tau} = \frac{\d \vec{L}}{\d t}

Conservação do Momento Angular

O momento angular total de um sistema é constante (em magnitude e direção) se o torque externo a ser aplicado no sistema for zero, isto é, se o sistema for isolado.

\sum\vec{\tau} = 0 \implies \sum\vec{L} = \op{constante}

Para um sistema isolado, tem-se que:

\begin{aligned} \Delta E_m &= 0& \Leftrightarrow&& E_{m_i} &= E_{m_f} \\ \Delta \vec{p} &= 0& \Leftrightarrow&& \vec{p}_i &= \vec{p}_f \\ \Delta \vec{L} &= 0& \Leftrightarrow&& \vec{L}_i &= \vec{L}_f \\ \end{aligned}

Leis de Kepler

Todos os planetas movem-se em orbitas elípticas com o Sol num dos focos.
O vetor raio do Sol a um planeta varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais.

A força gravítica entre o planeta e o Sol tem a mesma direção que o vetor raio, logo $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0$ . Como $\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{d\vec{t}} = 0$ , conclui-se que o momento angular $\vec{L}$ do planeta é constante.

O quadrado do período orbital de qualquer planeta é proporcional ao cubo do eixo semi-maior da sua órbita.

T^2 = K_Sa^3

onde $T$ é o período orbital, $a$ é o eixo semi-maior e $K_S$ é uma constante específica ao Sol ( $S$ ) dada por:

K_S = \frac{4\pi^2}{GM_S}

Estabilidade de Sistemas

A Lei de Hook diz que a força de restituição de uma mola (spring) é dada por:

F_s = -kx

onde $k$ é a constante de elasticidade característica da mola, dada em $\op{N}/\op{m}$ e $x$ é a distância da deformação da mola até à posição de equilíbrio.

A posição da mola é dada por:

x(t) = A\cos(\omega t + \phi)

onde $A$ é a amplitude da mola, $\omega$ é a frequência angular e $\phi$ é o ângulo inicial de fase. A função $x(t)$ é periódica de período $2\pi$ .

\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}

...to be continued

Sistema Termodinâmico

1\op{cal} = 4.186\op{J}

\begin{aligned} 0 \op{ºC} &= 273.15 \op{K}\\ T_{\op{ºC}} &= T_K - 273.15 \end{aligned}

1 \op{L} = 1 \op{dm}^3

Expansão Térmica

\frac{\Delta \ell}{\ell} = \alpha\Delta T \quad \frac{\Delta V}{V} = \beta\Delta T

onde $\ell$ é o comprimento, $\alpha$ é o coeficiente de dilatação linear ( $\op{ºC}^{-1}$ ), $V$ é o volume e $\beta$ é o coeficiente de dilatação ( $\op{ºC}^{-1}$ ).

Calor

C = \frac{\Delta Q}{\Delta T}\quad c = \frac{C}{m} = \frac{\Delta Q}{m\Delta T}

onde $C$ é a capacidade calorífica ( $\op{J}\op{K}^{-1}$ ) e $c$ é a capacidade calorífica mássica ( $\op{J}\op{kg}^{-1}\op{K}^{-1}$ ).

Energia para Mudar de Temperatura

\Delta Q = mc\Delta T

onde $c$ é o calor específico mássico ( $\op{J} \op{kg}^{-1} \op{K}^{-1}$ )

Transições de Fase

\quad \Delta Q = m\lambda

onde $\lambda$ é o calor latente ( $\op{kJ}\op{kg}^{-1}$ ).

Condução

Q = kA\frac{\Delta T}{\ell}\Delta t

onde $k$ é a condutividade térmica ( $\op{W} \op{m}^{-1} \op{K}$ ).

Gases Perfeitos/Ideais

pV = nRT

onde $p$ é a pressão ( $\op{Pa}$ ), $V$ é o volume ( $\op{m^3}$ ), $n$ é a quantidade de matéria $(\op{mol})$ , $R$ é a constante dos gases perfeitos e $T$ é a temperatura ( $\op{K}$ ).

R = 8.314 \op{J} \op{K}^{-1} \op{mol}^{-1}

Para temperatura constante, a pressão é inversamente proporcional ao volume:
$\smartcolor{pink}{p}\smartcolor{green}{V} = \text{constante}$
Para pressão constante, o volume é diretamente proporcional à temperatura.
$\smartcolor{green}{V} = a\smartcolor{orange}{T}\quad \text{sendo } a \text{ uma constante}$
Para volume constante, a pressão é diretamente proporcional à temperatura.
$\smartcolor{pink}{p} = a\smartcolor{orange}{T}\quad \text{sendo } a \text{ uma constante}$

...to be improved