Lógica Proposicional - Sistema Semântico

Sistema Semântico

Se no sistema dedutivo abordámos as regras de inferência, que falam sobre as entidades da linguagem, no sistema semântico vamos abordar as fbfs e os símbolos lógicos sob o ponto de vista do seu significado. O sistema baseia-se no conceito de interpretação, conceito este que neste contexto é definido a partir de uma função de valoração.

Associada ao conceito de função de valoração temos ainda a noção de interpretação:

Outro conceito interessante a ter em conta é o da satisfação. Dadas uma fbf $\alpha$ e uma interpretação $I$, podemos dizer que $I$ satisfaz $\alpha$ caso $I(\alpha) = V$, ou que $\alpha$ é verdadeira segundo a interpretação $I$. Caso contrário, claro, dizemos que $I$ não satisfaz $\alpha$/que $\alpha$ é falsa segundo $I$. A título de exemplo, podemos afirmar que a função de valoração acima satisfaz $P \wedge Q$ mas não $\neg P \wedge Q$.

Exemplo - Tabela de Verdade + Satisfação

$P$	$Q$	$P \wedge Q$	R	$(P \wedge Q) \to R$
$V$	$V$	$V$	$V$	$V$
$V$	$V$	$V$	$F$	$F$
$V$	$F$	$F$	$V$	$V$
$V$	$F$	$F$	$F$	$V$
$F$	$V$	$F$	$V$	$V$
$F$	$V$	$F$	$F$	$V$
$F$	$F$	$F$	$V$	$V$
$F$	$F$	$F$	$F$	$V$

Através da tabela acima, podemos afirmar que a fbf $(P \wedge Q) \to R$ apenas não é verdadeira no caso de ambos os símbolos de proposição $P$ e $Q$ serem verdadeiros e $R$ falso - a fbf não é satisfeita por nenhuma interpretação onde $I(P) = V, I(Q) = V, I(R) = F$.

Uma fbf diz-se satisfazível caso exista pelo menos uma interpretação que a satisfaça. Assim sendo, a fbf do exemplo acima é satisfazível, visto que existem 7 interpretações que a satisfazem (e 1 que não a satisfaz, mas que para este efeito é irrelevante). Dentro do mesmo conceito, podemos olhar para as fbfs falsificáveis, precisamente opostas às satisfazíveis - existe pelo menos uma interpretação que não as satisfaz. O exemplo acima é também falsificável, visto que, lá está, existe 1 interpretação para a qual é falsa. Podemos, então, afirmar que uma fbf pode ser satisfazível e falsificável ao mesmo tempo. Temos, ainda, que uma fbf é satisfazível apenas se a sua negação for falsificável.

Podemos ainda olhar para uma fbf e comentar a sua tautologia - uma fbf diz-se tautológica (ou, por abuso de linguagem, válida) caso seja verdadeira para qualquer interpretação. Tal como com as últimas definições, podemos encontrar a oposta de uma fbf tautológica, uma fbf contraditória - caso não seja satisfeita por qualquer interpretação. Uma fbf $\alpha$ é tautológica caso a sua negação, $\alpha$, seja contraditória. A fbf $P \wedge \neg P$, por exemplo, é contraditória.

A tabela de verdade abaixo mostra que a fbf $(P \wedge (P \to Q)) \to Q$ é tautológica:

$P$	$Q$	$P \to Q$	$P \wedge (P \to Q)$	$(P \wedge (P \to Q)) \to Q$
$V$	$V$	$V$	$V$	$V$
$V$	$F$	$F$	$F$	$V$
$F$	$V$	$V$	$F$	$V$
$F$	$F$	$V$	$F$	$V$

Podemos ainda aplicar estas lógicas a conjuntos de fbfs.

Um conjunto de fbfs diz-se satisfazível caso exista pelo menos uma interpretação que satisfaça todas as fbfs desse conjunto. Diz-se, por outro lado, contraditório caso nenhuma interpretação satisfaça todas as fbfs desse conjunto. O conjunto $\{P, Q, P \to Q\}$, por ex., é satisfazível, visto que há uma interpretação ($I(P) = V, I(Q) = V$) que satisfaz todas as fbfs do conjunto.

Um argumento $(\Delta, \alpha)$ diz-se válido caso não exista nenhuma interpretação que torne todas as proposições de $\Delta$ verdadeiras e $\alpha$ falsa - nesse caso, podemos escrever $\Delta \models \alpha$, ou "$\alpha$ é consequência semântica de $\Delta$". Podemos também dizer que $\Delta \models \alpha$ caso todos os modelos de $\Delta$ satisfaçam $\alpha$.

Por exemplo, dado o argumento $(\{P \wedge Q, R\}, P \wedge R)$, podemos verificar que o argumento é válido, visto que não existe nenhuma interpretação que torne as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.

$P$	$Q$	$R$	$P \wedge Q$	$P \wedge R$
$V$	$V$	$V$	$V$	$V$
$V$	$V$	$F$	$V$	$F$
$V$	$F$	$V$	$F$	$V$
$V$	$F$	$F$	$F$	$F$
$F$	$V$	$V$	$F$	$F$
$F$	$V$	$F$	$F$	$F$
$F$	$F$	$V$	$F$	$F$
$F$	$F$	$F$	$F$	$F$

Note-se que no exemplo abaixo, os espaços marcados como irrelevantes devem-se às premissas não serem todas verdadeiras, pelo que nada podemos extrair em relação à validade do argumento.

$P$	$Q$	$R$	$P \to R$	$Q \to R$	$P \vee Q$	$(P \vee Q) \to R$
$V$	$V$	$V$	$V$	$V$	$V$	$V$
$V$	$V$	$F$	$F$	$F$	--	$$--
$V$	$F$	$V$	$V$	$V$	$V$	$V$
$V$	$F$	$F$	$F$	$V$	--	$$--
$F$	$V$	$V$	$V$	$V$	$V$	$V$
$F$	$V$	$F$	$V$	$F$	--	$$--
$F$	$F$	$V$	$V$	$V$	$F$	$V$
$F$	$F$	$F$	$V$	$V$	$F$	$V$

Acima, podemos ver o exemplo do argumento $\{P \to R, Q \to R\} \models (P \vee Q) \to R$. As colunas 4 e 5 são as das premissas, a 7 a da conclusão - como podemos notar, não existe nenhuma interpretação onde as premissas sejam todas verdadeiras e a conclusão falsa. Podemos, portanto, dizer que o argumento é válido.

Podemos ainda demonstrar tautologias:

$P$	$Q$	$\neg(P \wedge Q)$	$\neg P \vee \neg Q$	$\neg(P \wedge Q) \leftrightarrow (\neg P \vee \neg Q)$
$V$	$V$	$F$	$F$	$V$
$V$	$F$	$V$	$V$	$V$
$F$	$V$	$V$	$V$	$V$
$F$	$F$	$V$	$V$	$V$

Aqui, podemos afirmar que $\neg(P \wedge Q) \leftrightarrow (\neg P \vee \neg Q)$ é uma tautologia, ou seja, que $\models \neg(P \wedge Q) \leftrightarrow (\neg P \vee \neg Q)$

Correção e Completude

A lógica proposicional é correta e completa.

• Correção - Para quaisquer fbfs $\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{k}$ e $\beta$, se pudermos derivar $\beta$ de $\{\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{k}\}$, ou seja, se $\{\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{k}\} \vdash \beta$, então $\{\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{k}\} \models \beta$. Qualquer argumento demonstrável é válido de acordo com a semântica.

• Completude - Para quaisquer fbfs $\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{k}$ e $\beta$, se pudermos afirmar que $\beta$ é consequência semântica de $\{\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{k}\}$, ou seja, se $\{\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{k}\} \models \beta$, então $\{\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{k}\} \vdash \beta$. Qualquer argumento válido de acordo com a semântica é demonstrável.

Podemos, então, voltar a olhar para a relação entre os sistemas dedutivo e semântico: