Teste de Hipóteses

Hipóteses

Damos o nome de hipótese estatística a qualquer conjetura sobre um dado estatístico, como por exemplo a distribuição de uma VA de interesse, um parâmetro desconhecido, ou outro. A uma conjetura sobre um parâmetro damos o nome de hipótese paramétrica.
Este capítulo centra-se no estudo da confiança que podemos dar a uma hipótese paramétrica.
Normalmente, isto é feito através da confrontação de duas hipóteses paramétricas:

• hipótese nula: $H_0 \in \Theta_0$ $\subset \Theta$ que consiste na hipótese principal;
• hipótese alternativa: $H_1 \in \Theta_1$ $\subset \Theta \backslash \Theta_0$ que consiste na hipótese que é confrontada com a hipótese nula. Normalmente consideramos 3 tipos de hipóteses alternativas:
  • unilateral inferior se $\Theta_1 \subset \{ x \in \Theta: x < H_0 \}$, isto é, se todos os valores da hipótese alternativa forem inferiores aos da hipótese nula;
  • unilateral superior se $\Theta_1 \subset \{ x \in \Theta: x > H_0 \}$, isto é, se todos os valores da hipótese alternativa forem superiores aos da hipótese nula;
  • bilateral caso enquadre valores para ambos os lados de $H_0$. Um exemplo comum de uma hipótese alternativa bilateral é
    $$H_0: \mu = \mu_0 \text{ e } H_1: \mu \neq \mu_0$$

Uma hipótese paramétrica diz-se ainda simples se especificar um único valor para o parâmetro em caso, dizendo-se composta caso contrário.

Exemplo

Considere-se que queremos analisar a altura da população portuguesa. Assumimos que a distribuição da altura dos portugueses é normal. Sendo assim, é do nosso interesse saber qual é, por exemplo, o valor esperado da altura de um português. Seja este parâmetro $\mu$.

Um exemplo de uma hipótese paramétrica é:

A média das alturas dos portugueses é $1,75m$.

Esta hipótese paramétrica é simples pois especifica um só valor para o parâmetro desconhecido. Uma hipótese paramétrica composta seria, por exemplo:

A média das alturas dos portugueses está algures entre $1,70m$ e $1,80m$.

Se considerarmos a primeira hipótese apresentada como a hipótese nula - $H_0: \mu = 1,70$ - temos que a hipótese alternativa é bilateral - $H_1: \mu \neq 1,70$.

Temos que a hipótese nula $H_0: \mu \geq 1,70$:

A média das alturas dos portugueses é no mínimo $1,70m$.

Tem uma hipótese alternativa unilateral inferior: $H_1: \mu < 1,70$.

Deve agora ser fácil imaginar uma hipótese nula cuja hipótese alternativa seja unilateral superior.

Testar um Hipótese

Testar uma hipótese consiste num processo estatístico que leva à aceitação/rejeição da hipótese nula em prol da alternativa. Esta decisão pode ou não estar correta: o teste permite-nos atribuir um valor de probabilidade a uma certa hipótese, mas nunca nos permite calcular sem margem de dúvida o valor de um parâmetro.

Dizemos que ocorreu um:

• erro de primeira espécie se $H_0$ for verdadeira mas for rejeitada pelo teste. Designamos por $\alpha$ como a probabilidade de ocorrer um erro destes;
• erro de segunda espécie se $H_0$ for falsa mas for aceite pelo teste. Designamos por $\beta$ como a probabilidade de ocorrer um erro destes;

Quando fazemos um teste, queremos que a probabilidade de ocorrer um erro seja o menor possível. É, então, normal colocar um limite superior para a probabilidade de ocorrência de erro de primeira espécie. A este limite dá-se o nome de nível de significância (n.s.) e representa-se por $\alpha_0$ $\in ]0,1[$.
Para calcular a probabilidade de erro, definimos uma estatística de teste como uma estatística a utilizar no confronto entre um par de hipóteses sobre o parâmetro $\theta$. Esta estatística:

• reflete a discrepância entre o estimador de $\theta$ e o valor conjeturado para o mesmo em $H_0$ ($\theta_0$);
• tem distribuição (exata ou aproximada) conhecida, sob a validade de $H_0$;
• obtém-se, normalmente, à custa de uma certa VA fulcral, substituindo $\theta$ por $\theta_0$ na sua expressão.

A partir desta estatística $T$, fica então a faltar definir o conjunto de valores que deverão levar à rejeição de $H_0$. A estes valores damos o nome de valores críticos e a este conjunto região de rejeição ou rejeição crítica de $H_0$. Esta região é designada por $\omega$ e é tal que $P(T \in \omega) = \alpha \leq \alpha_0$, dependendo também da hipótese alternativa.

A decisão em relação a $H_0$ é então a seguinte, para uma estatística teste $T$:

• $T \in \omega \Rightarrow$ rejeição;
• $T \not\in \omega \Rightarrow$ aceitação.

Mais uma vez, relembra-se que aceitação não significa que $H_0$ seja verdadeira: pode ocorrer um erro de primeira ou segunda espécie. Podemos, no entanto, concluir, em caso de aceitação da hipótese nula, que a probabilidade de um erro destes acontecer é inferior ao nível de significância $\alpha_0$. Desta forma, quanto menor $\alpha_0$, maior o conjunto de valores rejeitados.

Observamos ainda que, se $H_0$ for uma hipótese nula $H_0: \theta = \theta_0$ com alternativa bilateral $H_1: \theta \neq \theta_0$, averiguar $H_0$ com n.s. $\alpha_0$ equivale a averiguar se o valor $\theta_0$ proposto por $H_0$ pertence ao intervalo de confiança $1-\alpha_0$. Temos então que $\theta_0 \in IC_{1-\alpha_0}(\theta)$ leva à aceitação de $\theta_0$ com n.s. $\alpha_0$ e $\theta_0 \not\in IC_{1-\alpha_0}(\theta)$ leva à rejeição com esse mesmo n.s.

Procedimentos para Testar uma Hipótese

Para testar uma hipótese seguimos, então, o seguinte procedimento:

1. Escolhemos a VA de interesse $X$;
2. Identificamos a situação: qual a distribuição de $X$, o parâmetro em questão, outros parâmetros em causa, etc;
3. Especificamos as hipóteses: nula ($H_0$) e alternativa ($H_1$);
4. Escolhemos o nível de significância $\alpha_0$;
5. Escolhemos a estatística de teste $T$ e identificamos a sua distribuição sob a validade de $H_0$;
6. Obtemos a região de rejeição $\omega$
7. Calculamos o valor observado $t$ da estatística $T$ e decidimos pela rejeição ou não de $H_0$ com n.s. $\alpha_0$.

Função Potência

Por vezes, além da probabilidade de rejeição para uma hipótese verdadeira, podemos querer essa probabilidade para uma hipótese falsa. Definimos a função potência de um teste como a probabilidade de rejeição da hipótese nula. Temos que

pelo que

$p$-value

Até agora, temos estudado a decisão sobre uma hipótese para um n.s. fixo. No entanto, podemos seguir o sentido contrário: dado o valor observado $t$ de uma estatística, determinar para que níveis de significância é que rejeitamos/aceitamos a hipótese nula. Definimos, então, o p-value como o maior nível de significância que leva à aceitação de $H_0$. Nomeadamente, se tivermos um teste:

• unilateral inferior, $\omega = ]-\infty, c[$, então $c = P(T<t | H_0) = F_{T|H_0}(t)$;
• unilateral superior, $\omega = ]c, \infty[$, então $c = P(T>t | H_0) = 1 - F_{T|H_0}(t)$;
• bilateral, $\omega = ]-\infty, c[ \cup ]c, \infty[$ em que $T | H_0$ tem distribuição simétrica em relação à origem, então $c = P(T<-|t| \vee T>|t| | H_0) = 2\left(1 - F_{T|H_0}(|t|) \right)$

Testes de Hipóteses Paramétricas

Determinação de $\mu$ para $\sigma^2$ conhecido

Neste caso, estamos interessados em determinar a zona de rejeição para uma hipótese paramétrica em relação ao valor esperado de uma VA arbitrária $X$ cuja variância já conhecemos.

Consideramos, então, a hipótese nula $H_0: \mu = \mu_0$.

Se $X \sim \op{normal}(\mu, \sigma^2)$, temos então que

Sendo assim, a região de rejeição é exatamente

• $\omega = \space]-\infty, -\Phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2})[\space \cup \space]\Phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2}), \infty[$
  para uma hipótese alternativa bilateral $H_1: \mu \neq \mu_0$;
• $\omega = \space]\Phi^{-1}(1-\alpha), \infty[$
  para uma hipótese alternativa unilateral superior $H_1: \mu > \mu_0$;
• $\omega = \space]-\infty, -\Phi^{-1}(1-\alpha)[$
  para uma hipótese alternativa unilateral inferior $H_1: \mu < \mu_0$;

Se $X$ não seguir uma distribuição normal, invocamos o TLC para obter que

e portanto podemos obter as mesmas regiões de rejeição indicadas acima, desta vez com nível de significância aproximado.

Determinação de $\mu_1 - \mu_2$ para $\sigma_1^2, \sigma_2^2$ conhecidos

Neste caso, estamos interessados em determinar a zona de rejeição para uma hipótese paramétrica em relação à diferença entre os valores esperados de duas VA arbitrárias $X_1$ e $X_2$ cuja variância já conhecemos.

Consideramos, então, a hipótese nula $H_0: \mu_1 - \mu_2 = \mu_0$.

Se $X_i \sim \op{normal}(\mu_i, \sigma_i^2)$ ($i \in \{1,2\}$), temos que

Sendo assim, a região de rejeição é exatamente

• $\omega = \space]-\infty, -\Phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2})[\space \cup \space]\Phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2}), \infty[$
  para uma hipótese alternativa bilateral $H_1: \mu \neq \mu_0$;
• $\omega = \space]\Phi^{-1}(1-\alpha), \infty[$
  para uma hipótese alternativa unilateral superior $H_1: \mu > \mu_0$;
• $\omega = \space]-\infty, -\Phi^{-1}(1-\alpha)[$
  para uma hipótese alternativa unilateral inferior $H_1: \mu < \mu_0$;

Se $X$ não seguir uma distribuição normal, invocamos o TLC para obter que

e portanto podemos obter as mesmas regiões de rejeição indicadas acima, desta vez com nível de significância aproximado.

Determinação de $\mu$ para $\sigma^2$ desconhecido

Neste caso, estamos interessados em determinar a zona de rejeição para uma hipótese paramétrica em relação ao valor esperado de uma VA arbitrária $X$ cuja variância não conhecemos.

Consideramos, então, a hipótese nula $H_0: \mu = \mu_0$.

Se $X \sim \op{normal}(\mu, \sigma^2)$, temos que

em que $s$ é um estimador para a variância - a variância corrigida.

Sendo assim, a região de rejeição é exatamente

• $\omega = \space]-\infty, -F_{t_{(n-1)}}^{-1}(1-\frac{\alpha}{2})[\space \cup \space]F_{t_{(n-1)}}^{-1}(1-\frac{\alpha}{2}), \infty[$
  para uma hipótese alternativa bilateral $H_1: \mu \neq \mu_0$;
• $\omega = \space]F_{t_{(n-1)}}^{-1}(1-\alpha), \infty[$
  para uma hipótese alternativa unilateral superior $H_1: \mu > \mu_0$;
• $\omega = \space]-\infty, -F_{t_{(n-1)}}^{-1}(1-\alpha)[$
  para uma hipótese alternativa unilateral inferior $H_1: \mu < \mu_0$;

Se $X$ não seguir uma distribuição normal, invocamos o TLC para obter que

e portanto podemos obter as mesmas regiões de rejeição indicadas acima, desta vez com nível de significância aproximado.

Determinação de $\mu_1 - \mu_2$ para $\sigma_1^2, \sigma_2^2$ desconhecidos

Neste caso, estamos interessados em determinar a zona de rejeição para uma hipótese paramétrica em relação à diferença entre os valores esperados de duas VA arbitrárias $X_1$ e $X_2$ cuja variância não conhecemos.

Consideramos, então, a hipótese nula $H_0: \mu_1 - \mu_2 = \mu_0$.

Se $X_i \sim \op{normal}(\mu_i, \sigma_i^2)$ ($i \in \{1,2\}$), temos que

em que $s$ é um estimador para a variância - a variância corrigida.

Sendo assim, a região de rejeição é exatamente

• $\omega = \space]-\infty, -F_{t_{(n_1+n_2-1)}}^{-1}(1-\frac{\alpha}{2})[\space \cup \space]F_{t_{(n_1+n_2-1)}}^{-1}(1-\frac{\alpha}{2}), \infty[$
  para uma hipótese alternativa bilateral $H_1: \mu \neq \mu_0$;
• $\omega = \space]F_{t_{(n_1+n_2-1)}}^{-1}(1-\alpha), \infty[$
  para uma hipótese alternativa unilateral superior $H_1: \mu > \mu_0$;
• $\omega = \space]-\infty, -F_{t_{(n_1+n_2-1)}}^{-1}(1-\alpha)[$
  para uma hipótese alternativa unilateral inferior $H_1: \mu < \mu_0$;

Se $X_1$ e $X_2$ não seguirem uma distribuição normal, invocamos o TLC para obter que

e portanto podemos obter as mesmas regiões de rejeição indicadas acima, desta vez com nível de significância aproximado.

Determinação de $\sigma^2$ para $\mu$ desconhecido

Neste caso, estamos interessados em determinar a zona de rejeição para uma hipótese paramétrica em relação à variância de uma VA $X$ com distribuição normal cujo valor esperado não conhecemos.

Consideramos, então, a hipótese nula $H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2$.

Como $X \sim \op{normal}(\mu, \sigma^2)$, temos que

Sendo assim, a região de rejeição é exatamente

• $\omega = \space]-\infty, {\chi_{(n-1)}^2}^{-1}(\frac{\alpha}{2})[\space \cup \space]{\chi_{(n-1)}^2}^{-1}(1-\frac{\alpha}{2}), \infty[$
  para uma hipótese alternativa bilateral $H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2$;
• $\omega = \space]{\chi_{(n-1)}^2}^{-1}(1-\alpha), \infty[$
  para uma hipótese alternativa unilateral superior $H_1: \sigma^2 > \sigma_0^2$;
• $\omega = \space]-\infty, {\chi_{(n-1)}^2}^{-1}(\alpha)[$
  para uma hipótese alternativa unilateral inferior $H_1: \sigma^2 < \sigma_0^2$;

Determinação de $p$ numa Prova de Bernoulli

Neste caso, estamos interessados em determinar a zona de rejeição para uma hipótese paramétrica em relação ao parâmetro de uma Prova de Bernoulli.

Consideramos, então, a hipótese nula $H_0: p = p_0$.

Como $X \sim Bernoulli(p)$, temos, segundo o TLC, que para $n>>$

Sendo assim, a região de rejeição é aproximadamente

• $\omega = \space]-\infty, -\Phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2})[\space \cup \space]\Phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2}), \infty[$
  para uma hipótese alternativa bilateral $H_1: p \neq p_0$;
• $\omega = \space]\Phi^{-1}(1-\alpha), \infty[$
  para uma hipótese alternativa unilateral superior $H_1: p > p_0$;
• $\omega = \space]-\infty, -\Phi^{-1}(1-\alpha)[$
  para uma hipótese alternativa unilateral inferior $H_1: p < p_0$;

Exemplos

Exemplo

(Exemplo retirado do Teste 2B de 2017/2018 de PE)

O diâmetro ($X$ , em cm) dos tapetes de rato produzidos por determinada fábrica possui distribuição normal com parâmetros desconhecidos $\mu$ e $\sigma^2$ . A concretização de uma amostra aleatória de dimensão 10 conduziu aos seguintes resultados: $\sum_{i=1}^{10} x_i = 846$ e $\sum_{i=1}^{10} x_i^2 = 71607$.

Caso queiramos testar as seguintes hipóteses (decidindo com base no valor-p)

$$\begin{aligned} H_0&: \sigma^2 = \sigma_0^2 = 4\\ H_1&: \sigma^2 > 4 \end{aligned}$$

Devemos, em primeiro lugar, escolher a nossa estatística de teste: sendo que estamos a testar $\sigma^2$ de uma população normal, com $\mu$ desconhecido, faz sentido escolher:

$$T = \frac{(n - 1)S^2}{\sigma_0^2} \sim_{H_0} \chi_{(n - 1)}^2$$

Devemos, ainda, definir inicialmente a região de rejeição de $H_0$: tratando-se de um teste unilateral superior (com $H_1: \sigma^2 > 4$), dizemos que a região de rejeição de $H_0$ é dada por $W = (c, +\infty)$.

Note-se que, para a amostra considerada, tem-se:

$$\begin{aligned} s^2 &= \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2 \\ &= \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n \overline{x}^2 \\ &= \frac{1}{9}\biggl(71607 - \frac{846^2}{10}\biggr)\\ &= 3.9(3)^{\smartcolor{orange}{*}} \end{aligned}$$

O valor observado, tendo em conta a estatística de teste, é dado por:

$$\begin{aligned} t &= \frac{(n - 1)s^2}{\sigma_0^2} \\ &= \frac{(10 - 1) \cdot 3.9(3)^{\smartcolor{orange}{*}}}{4} \\ &= 8.85 \end{aligned}$$

Sendo a região de rejeição um intervalo à direita, vamos ter:

$$\begin{aligned} \text{valor-p} &= P(T > t | H_0)\\ &= 1 - F_{\chi^2_{(n-1)}}(t) \\ &= 1 - F_{\chi^2_{(9)}}(8.85) \end{aligned}$$

Ora, não existe tabela que nos possibilite encontrar o valor específico de $F_{\chi^2_{(9)}}(8.85)$. Conseguimos, contudo, enquadrar o valor-p, tal que:

$$\begin{aligned} F_{\chi^2_{(9)}}^{-1}(0.50) &= 8.343 < t = 8.85 < 9.414 = F_{\chi^2_{(9)}}^{-1}(0.60) \\ 0.50 &< F_{\chi^2_{(9)}}(8.85) < 0.60\\ 0.40 &< \text{valor-p} < 0.50 \end{aligned}$$

Podemos, assim, recorrendo ao valor-p, afirmar que devemos rejeitar $H_0$ a qualquer nível de significância superior a $50\%$, e não devemos rejeitar $H_0$ a qualquer nível de significância igual ou inferior a $40\%$.