Variáveis Aleatórias Contínuas

Distribuição Uniforme Contínua

Dizemos que uma VA contínua $X$ tem uma distribuição uniforme contínua e representamos $X~\sim~\op{uniforme \, contínua}(a,b)$ se, dados os parâmetros:

• $a,b$: limites do intervalo ($a,b \in \R$)

satisfizer:

Contradomínio: $[a,b]$
Função de Probabilidade

Uma VA $X$ com distribuição uniforme contínua tem:

Valor Esperado: $E(X) = \frac{a+b}{2}$
Variância: $V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$

Exemplo

O Humberto trabalha na RNL. O Humberto tem um turno definido entre as 10h e as 12h. Como o Humberto tem problemas com alarmes, a hora a que ele chega ao trabalho é uniformemente distribuída pelo turno todo. Sendo assim, temos que

$$X~\sim~\text{uniformemente contínua}(10, 12)$$

A função de probabilidade desta VA é

$$P(X = x) = \begin{cases} \frac{1}{2}, &x \in [10, 12] \\ 0, &x \notin [10, 12] \end{cases}$$

e o seu valor esperado e variância são:

$$E(X) = \frac{10+12}{2} = 11 \quad \quad V(X) = \frac{(12-10)^2}{12} = \frac{1}{3}$$

Propriedades da distribuição uniforme contínua:

• Uma VA $X$ com distribuição uniforme contínua tem função de distribuição dada por
  $$F_X(x) = \begin{cases} 0, &x < a \\ \frac{x-a}{b-a}, &x \in [a,b] \\ 1, &x > b \end{cases}$$
• Dois intervalos com a mesma amplitude têm a mesma probabilidade de acontecer. Isto é, para $\Delta \in \R^+$ e $c, d \in [a, b-\Delta]$ temos que:
  $$P(c \leq x \leq c+\Delta) = P(d \leq x \leq d+\Delta) = \frac{\Delta}{b-a}$$

Distribuição Exponencial

Dizemos que uma VA contínua $X$ tem uma distribuição exponencial e representamos $X~\sim~\op{exponencial}(\lambda)$ se, dados os parâmetros:

• $\lambda \in \R_0^+$: valor esperado do tempo até o evento acontecer

satisfizer:

Contradomínio: $\R_0^+$
Função de Probabilidade

Uma VA $X$ com distribuição exponencial tem:

Valor Esperado: $E(X) = \frac{1}{\lambda}$
Variância: $V(X) = \frac{1}{\lambda^2}$

Exemplo

Lançamos um dado ao ar. Considere-se a VA $X$ que mede o tempo, em segundos, que o dado demora a cair sobre a superfície da mesa. Assuma-se que o valor esperado desta medição é de 2 segundos. Então:

$$X~\sim~\text{exponencial}(2)$$

A função de probabilidade desta VA é

$$P(X = x) = \begin{cases} 2e^{-2x}, &x \geq 0 \\ 0, x < 0 \end{cases}$$

e o seu valor esperado e variância são

$$E(X) = \frac{1}{2} \quad \quad V(X) = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$$

Propriedades da distribuição exponencial:

• A distribuição exponencial tem função de distribuição dada por
  $$F_X(x) = \begin{cases} 0, &x < 0 \\ 1-e^{-\lambda x}, &x \geq 0 \end{cases}$$
• Propriedade da Falta de Memória: Dada uma VA com distribuição exponencial $X$, temos que, $\forall_{k, x \in \Z^+}$:
  $$P(X > k+x | X > k) = P(X > x)$$
  Por outras palavras, a VA $Y = X-k | X>k$ é tal que
  $$Y \sim \op{exponencial}(p)$$
• Processo de Poisson: Damos o nome de Processo de Poisson a uma coleção de VA's $\{ N_t: t \in \R^+ \}$ que registam o número de ocorrências de um certo evento no intervalo $]0,1]$ tal que:
  • O número de ocorrências em intervalos disjuntos são VA independentes;
  • O número de ocorrências em intervalos de amplitude igual satisfazem a mesma distribuição;
  • $N_t \sim \op{Poisson}(\lambda t)$ Podemos então concluir que a VA $X_t$ que determina o tempo entre duas ocorrências do evento satisfaz
    $$X_t \sim \op{exponencial}(\lambda)$$

Distribuição Normal

Dizemos que uma VA contínua $X$ tem uma distribuição normal e representamos $X~\sim~\op{normal}(\mu,\sigma^2)$ se, dados os parâmetros:

• $\mu = E(X) \in \R$
• $\sigma^2 = V(X) \in \R_0^+$

satisfizer:

Contradomínio: $\R$
Função de Probabilidade

Uma VA $X$ com distribuição normal tem:

Valor Esperado: $E(X) = \mu$
Variância: $V(X) = \sigma^2$

Exemplo

Considere-se a VA $X$ que regista a altura de um português aleatório. Assumindo que a altura dos portugueses satisfaz uma distribuição normal com valor esperado 1.75m e variância 30cm temos que:

$$X~\sim~\text{normal}(1.75, 0.3)$$

A função de probabilidade desta VA é

$$P(X = x) = \frac{1}{\sqrt{0.6\pi}} e^{-\frac{(x-1.75)^2}{0.6}}, \quad x \in \R$$

e o seu valor esperado e variância são 1.75m e 0.3m.

Propriedades da distribuição normal:

• O integral $\int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2 \sigma^2}} \, dt$ não tem forma fechada, pelo que a distribuição normal não tem uma função de distribuição que possa ser escrita em forma fechada. Sendo assim, os valores desta função têm de ser obtidos por consulta de tabelas. Esta consulta é facilitada pela próxima propriedade;
• $X \sim \op{normal}(\mu, \sigma^2) \Leftrightarrow aX+b \sim \op{normal}(aX + b, a^2 \sigma^2)$
  Consequentemente, $X \sim \op{normal}(\mu, \sigma^2) \Leftrightarrow \frac{X-\mu}{\sigma} \sim \op{normal}(0,1)$.
  Desta forma, para qualquer VA $X$ com distribuição normal, é sempre possível fazer uma transformação linear de forma a obter uma VA com distribuição normal centrada em $0$ e com variância $1$. À distribuição normal centrada em $0$ com variância $1$ dá-se o nome de distribuição normal padrão. A sua função de distribuição representa-se por $\Phi(x)$ e é dada por
  $$\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}} \, dt$$
• A distribuição normal padrão satisfaz $\Phi(x) + \Phi(-x) = 1, \forall_{x \in \R}$, pelo que as tabelas estatísticas só precisam de ter os valores desta função para $x$ positivo.

Como obter $F_X(x)$ através da tabela

Para uma distribuição $X \sim \op{normal}(23,{0.1}^{2})$ queremos saber o valor de $P(X \leq 23.045)$.

Sabendo que $X \sim \op{normal}(\mu, \sigma^2) \Leftrightarrow Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim \op{normal}(0,1)$ e que os valores da função

$$\Phi(x) = P(Z \leq x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}} \, dt$$

podem ser consultados numa tabela estatística, temos então uma forma de calcular a probabilidade pretendida.

Temos que $P(X \leq 23.045) = P (\frac{X - 23}{{0.1}} \equiv \frac{X-\mu}{\sigma} \leq \frac{23.045 - 23}{{0.1}}) = \Phi(0.45)$

Indo ver à tabela, concluímos que $\Phi(0.45) = 0.6736$, pelo que $P(X \leq 23.045) = 0.6736$.

Observe-se que a tabela não permite consultar a função $\Phi$ em valores negativos. Nesse caso, basta aproveitarmo-nos do facto que $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$ e depois consultar a tabela.

Por exemplo, temos que $\Phi(-0.45) = 1-\Phi(0.45) = 0.3264$.