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Rotacional. Teorema de Stokes

Rotacional

DEFINIÇÃO

Seja F:R3R3F: \R^3 \to \R^3 um campo vetorial de classe C1C^1.

Definimos o rotacional de FF, rotF\rot F ( ou ×F\nabla \times F), como

rotF=×F=e1e2e3xyzF1F2F3=(F3yF2z,F3x+F1z,F2xF1y)\begin{aligned} \rot F = \nabla \times F &= \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ F_1 & F_2 & F_3 \end{vmatrix}\\ &=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}- \frac{\partial F_2}{\partial z}, -\frac{\partial F_3}{\partial x} + \frac{\partial F_1}{\partial z}, \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \right) \end{aligned}

Como simples exemplos, podemos tomar os campos vetoriais F1F_1 e F2F_2,

F1(x,y,z)=(y,x,z)F2(x,y,z)=(x2,3x2,y+z)\begin{array}{ll} F_1(x,y,z) = (-y,x,z) & F_2(x,y,z)=(x^2, 3x^2, y+z) \end{array}

e de seguida calcular os seus rotacionais:

rotF1=e1e2e3xyzyxz=(0,0,1+1)=(0,0,2)rotF2=e1e2e3xyzx23x2y+z=(1,0,6x)\begin{aligned} \rot F_1 &= \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ -y & x & z \end{vmatrix} = (0,0, 1+1) = (0,0,2)\\ \rot F_2 &= \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ x^2 & 3x^2 & y+z \end{vmatrix} =(1,0,6x) \end{aligned}

Propriedades do Rotacional

  1. Seja um campo vetorial FC2F \in C^2, F:R3R3F: \R^3 \to \R^3 e o seu rotacional rotF:R3R3\rot F: \R^3 \to \R^3, então

    div(rotF)=0\ondiv(\rot F) = 0
    Demonstração
    rotF=(F3yF2z,F3x+F1z,F2xF1y)\rot F =\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}- \frac{\partial F_2}{\partial z}, -\frac{\partial F_3}{\partial x} + \frac{\partial F_1}{\partial z}, \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \right)
    div(rotF)=x(F3yF2z)+y(F3x+F1z)+z(F2xF1y)=0\begin{aligned} \ondiv(\rot F) &= \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right)\\ &+ \frac{\partial}{\partial y} \left(-\frac{\partial F_3}{\partial x} + \frac{\partial F_1}{\partial z}\right)\\ &+ \frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right)\\ &= 0 \end{aligned}

    Se divG0\ondiv G \ne 0, então GG não pode ser um rotacional.

  2. Se rotF=(0,0,0)\rot F = (0,0,0), então FF é fechado, pois

    F3y=F2zF3x=F1zF2x=F1y\begin{array}{lll} \frac{\partial F_3}{\partial y} = \frac{\partial F_2}{\partial z} & \frac{\partial F_3}{\partial x} = \frac{\partial F_1}{\partial z} & \frac{\partial F_2}{\partial x} = \frac{\partial F_1}{\partial y} \end{array}
  3. Se rotF=0\rot F = 0 e domínio de FF for simplesmente conexo então F\vec F é gradiente (e conservativo).

Orientação do Bordo de uma Superfície

Considerando uma superfície orientada SS em R3\R^3, em que S\partial S é bordo da superfície (uma linha).

Podemos definir uma orientação para o bordo através da Regra da Mão Direita.

Colocando a mão direita com a palma voltada para a superfície e com o polegar a apontar no sentido da normal, ficamos com os dedos a apontar na orientação do bordo da superfície.

Podemos tomar como exemplos as superfícies SS e TT:

S={x2+y2+z2=1,z>0},nz>0S = \{x^2 + y^2 + z^2 = 1, z > 0 \}, \quad \vec n_z > 0

Orientação do bordo de S pela regra da mão direita

T={x2+y2=1,0z1},normal exteriorT = \{x^2 + y^2 = 1 , 0 \leq z \leq 1 \}, \quad \text{normal exterior}

Orientação do bordo de T pela regra da mão direita

Teorema de Stokes

DEFINIÇÃO

Seja SR3S \subset \R^3 uma superfície orientada e FF um campo vetorial C1C^1, então

SrotFn=SF ⁣dg\int_S \rot F \cdot \vec n = \int_{\partial S} \vec F \d g

em que S\partial S tem a orientação dada pela regra da mão direita.

Exemplos

Considere a superfície SS com normal n\vec n com a primeira componente negativa e o campo vetorial SS,

S={x=1+y2+z2,x0}F=(xy,zex,y)\begin{array}{ll} S = \{ x = -1 + y^2 + z^2, x \leq 0 \} & F = (xy, ze^x, -y) \end{array}

Qual o valor de SrotFn\int_S \rot F \cdot \vec n?

Representação 3D da superfície S

A normal está apontada para fora da taça.

S={x=0,y2+z2=1}\partial S = \{ x = 0, y^2 + z^2 = 1 \} com orientação no sentido horário

SrotFn=SF ⁣dg=S(0,z,y) ⁣dg\int_S \rot F \cdot \vec n = \int_{\partial S} \vec F \d g = \int_{\partial S} (0, z , -y) \d g

Parametrizar:

{x=0y=costz=sint\begin{cases} x = 0\\ y = \cos t\\ z = \sin t \end{cases}
g(t)=(0,cost,sint)g(t)=(0,sint,cost)F(g(t))=(0,sint,cost)F(g(t))g(t)=sin2tcos2t=1\begin{array}{ll} g(t) = (0, \cos t, \sin t) & g'(t) = (0, -\sin t, \cos t)\\ \vec F (g(t)) = (0, \sin t, -\cos t) & \vec F(g(t)) \cdot g'(t) = -\sin^2 t - \cos^2 t = -1 \end{array}

Como a orientação da parametrização é a errada,

SF ⁣dg=02π1 ⁣dt=2π\int_{\partial S} \vec F \d g = - \int_0^{2\pi} -1 \d t = 2\pi

Podemos fazer a seguinte observação:

Se F=rotAF = \rot A e SS for uma superfície sem bordo, então, pelo Teorema de Stokes, temos que

SFn=SrotAn=SA ⁣dg=0\int_S F \cdot \vec n = \int_S \rot A \cdot \vec n = \int_{\partial S} A \cdot \d \vec g = 0

Conjunto Aberto Estrelado

DEFINIÇÃO

Seja ARnA \subset \R^n um conjunto aberto. O conjunto AA diz-se em estrela (ou estrelado) se existir x0Ax_0 \in A (e.g. centro da estrela) tal que o segmento que une x0x_0 a qualquer ponto de A está contido em AA.

Qualquer conjunto aberto estrelado é um conjunto aberto simplesmente conexo (mas o contrário não é sempre verdade).

Exemplos:

Conjunto Estrelado e Não Estrelado

TEOREMA

Se G:DR3R3G: D \subset \R^3 \to \R^3 com divG=0\ondiv G = 0 e o domínio de GG é um aberto em estrela, então existe F:R3R3F: \R^3 \to \R^3 tal que

rotF=G\rot F = G

Obter o Campo Vetorial de um Rotacional

Tomando G:R3R3G: \R^3 \to \R^3 com divG=0\ondiv G = 0, então, como R3\R^3 é um aberto em estrela, G=rotFG = \rot F.

Como podemos calcular o potencial vetor de FF?
Seguimos os seguintes passos:

  1. Fazer um sistema com as componentes da definição de rotacional, igualadas ao valor conhecido do rotacional, isto é, GG.

    rotF=×F=e1e2e3xyzF1F2F3=(F3yF2z,F3x+F1z,F2xF1y)rot F = \nabla \times F = \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ F_1 & F_2 & F_3 \end{vmatrix} = \left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}, - \frac{\partial F_3}{\partial x} + \frac{\partial F_1}{\partial z}, \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right)
    {F3yF2z=G1F1zF3x=G2F2xF1y=G3\begin{cases} \frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z} = G_1\\ \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x} = G_2\\ \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} = G_3 \end{cases}
  2. Se G=rotFG = \rot F e ϕ:R3R\phi: \R^3 \to \R

    rot(F+ϕ)=rotF+rot(ϕ)=rotF+0=G\rot (F + \nabla \phi) = \rot F + \rot (\nabla \phi) = \rot F + 0 = G
  3. Seja ϕ=F1(x,y,z) ⁣dx\phi = - \int F_1 (x,y,z) \d x (isto é, ϕ\phi é o simétrico da primitiva de F1F_1 em ordem a xx)

    • rot(F+ϕ)=G\rot(F + \nabla \phi) = G
    • A primeira coordenada de F+ϕF + \nabla \phi é F1+ϕx=F1F1=0F_1 + \frac{\partial \phi}{\partial x} = F_1 - F_1 = 0

    Logo, existe um potencial vetor com a primeira componente nula.
    O mesmo é válido com qualquer componente, pelo que sabemos que existe sempre pelo menos uma componente nula.

É mais fácil perceber através de um exemplo:

Exemplo

Seja o campo vetorial F(x,y,z)=(xey,2ey,zey)F(x,y,z) = (x e^y, -2e^y, ze^y).

  1. Será que FF é um rotacional?

    • divF=ey2ey+ey=0\ondiv F = e^y - 2e^y + e^y = 0
    • Domínio de F=R3F = \R^3 é aberto em estrela

    Logo, FF é um rotacional.

  2. Qual o valor de AA tal que F=rotAF = \rot A?

    Tomando, por exemplo, A2A_2 = 0,

    {A3yA2z=xeyA1zA3x=2eyA2xA1y=zey{A3y=xeyA1y=zey{A3=xey ⁣dy=xey+C1(x,z)(ey+C2z)(ey+C1x)=2eyA1=zey+C2(x,z){2ey+C2zC1x=2ey{C2z=C1x\begin{aligned} &\begin{cases} \frac{\partial A_3}{\partial y} - \frac{\partial A_2}{\partial z} = x e^y\\ \frac{\partial A_1}{\partial z} - \frac{\partial A_3}{\partial x} = -2e^y\\ \frac{\partial A_2}{\partial x} - \frac{\partial A_1}{\partial y} = z e^y \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} \frac{\partial A_3}{\partial y} = x e^y\\ \huge -\\ \frac{\partial A_1}{\partial y} = - z e^y \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} A_3 = \int x e^y \d y = x e^y + C_1(x,z)\\ (-e^y + \frac{\partial C_2}{\partial z}) - (e^y + \frac{\partial C_1}{\partial x}) = -2 e^y\\ A_1 = -z e^y + C_2(x,z) \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} \huge -\\ -2e^y + \frac{\partial C_2}{\partial z} - \frac{\partial C_1}{\partial x}= -2 e^y\\ \huge - \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} -\\ \frac{\partial C_2}{\partial z} = \frac{\partial C_1}{\partial x}\\ \huge - \end{cases} \end{aligned}

    Escolhendo C1=C2=0C_1 = C_2 = 0, temos A=(zey,0,xey)A = (-z e^y, 0, xe^y)

  3. Considerando S={x2+z2=y2:1<y<2}S = \{x^2 + z^2 = y^2: 1 < y < 2\} e ny<0\vec n_y < 0, qual o valor de SFn\int_S F \cdot \vec n?

Representação 3D de S

Pelo Teorema de Stokes, sabemos que

SFn=SrotAn=SA ⁣dg=C1A ⁣dg+C2A ⁣dg\int_S F \cdot \vec n = \int_S \rot A \cdot \vec n = \int_{\partial S} A \d g = \int_{C_1} A \d g + \int_{C_2} A \d g

C1:x2+z2=1,y=1C_1: x^2+z^2 = 1, y = 1

g(t)=(cost,1,sint)g(t)=(sint,0,cost)A(g(t))=(esint,0,ecost)\begin{array}{ll} g(t) = (\cos t, 1, \sin t) & g'(t) = (-\sin t, 0, \cos t)\\ A(g(t)) = (-e \sin t, 0, e\cos t) & \end{array}
C1A ⁣dg=02πA(g(t))g(t) ⁣dt=2πe\int_{C_1} A \d g = - \int_0^{2 \pi} A(g(t)) \cdot g'(t) \d t = - 2\pi e

C2:x2+z2=4,y=2C_2: x^2+z^2 = 4, y = 2

g(t)=(2cost,2,2sint)g(t)=(2sint,0,2cost)A(g(t))=(2e2sint,0,2e2cost)\begin{array}{ll} g(t) = (2\cos t, 2, 2\sin t) & g'(t) = (-2\sin t, 0, 2\cos t)\\ A(g(t)) = (-2e^2 \sin t, 0, 2e^2\cos t) & \end{array}
C2A ⁣dg=02πA(g(t))g(t) ⁣dt=02π4e2 ⁣dt=8πe2\int_{C_2} A \d g = \int_0^{2 \pi} A(g(t)) \cdot g'(t) \d t = \int_0^{2 \pi} 4 e^2 \d t = 8\pi e^2

Logo,

SFn=8πe22πe\int_S F \cdot \vec n = 8\pi e^2 - 2\pi e

Significado Geométrico de Rotacional

Sejam o campo vetorial FF e x0x_0,

F:R3R3FC1x0R3\begin{array}{lll} F: \R^3 \to \R^3 & F \in C^1 & x_0 \in \R^3 \end{array}
SϵrotFn=SϵF ⁣dg\int_{S_{\epsilon}} \rot F \cdot \vec n = \int_{\partial S_{\epsilon}} F \d g
SϵrotFnrotF(x0)nSϵ1 ⁣dS=rotF(x0)n  aˊrea(Sϵ)\int_{S_{\epsilon}} \rot F \cdot \vec n \approx \rot F(x_0) \cdot \vec n \int_{S_{\epsilon}} 1 \d S = \rot F(x_0) \cdot \vec n\ \text{ área}(S_{\epsilon})
rotF(x0)n=limϵ01aˊrea(Sϵ)SϵF ⁣dg\rot F(x_0) \cdot \vec n = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\text{área}(S_{\epsilon})} \int_{\partial S_{\epsilon}} F \d g

rotF(x0)n\rot F(x_0) \cdot \vec n (o trabalho de FF) é máximo quando n\vec n tem a mesma direção e sentido de rotF(x0)\rot F(x_0)

A intensidade do trabalho de FF vai ser

rotF(x0)rotF(x0)rotF(x0)=rotF(x0)2rotF(x0)=rotF(x0)\rot F(x_0) \cdot \frac{\rot F(x_0)}{|| \rot F(x_0)||} = \frac{||\rot F(x_0)||^2}{|| \rot F(x_0)||} = ||\rot F(x_0)||

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