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Corrente e Magnetostática

Corrente Elétrica

Densidade de Corrente

Na Eletrostática estudámos que as cargas que criavam um campo estavam estáticas, ao contrário da Carga de Prova que se podia movimentar livremente.
Na Corrente Elétrica estudaremos cargas de fonte que não se encontram paradas.
Temos assim de definir o conceito de Corrente Elétrica.

  • A Corrente Elétrica corresponde ao fluxo de eletrões em movimento com um fluxo definido.

Perp

Usando o conceito matemático de fluxo podemos definir a Densidade de Corrente J⃗\vec J

dqdt=J⃗ n⃗ dS=J⃗ dS⃗\cfrac{dq}{dt} = \vec J \ \vec n \ dS = \vec J \ d \vec S

A Densidade de Corrente J⃗\vec J é a quantidade de carga que passa através de um elemento de superfície perpendicular à corrente das cargas em movimento por unidade de tempo

Definição

A Densidade de Corrente está relacionada com a velocidade média do fluxo das cargas.

Para uma distribuição de cargas com densidade ρ\rho com uma velocidade (média) v⃗\vec v, quando passam por um elemento de superfície dSdS a carga dqdq que atravessa essa superfície num intervalo de tempo dtdt é igual à cargas contida num cilindro de base dSdS e altura (v⃗dt)n⃗(\vec v dt) \vec n

dq=ρ[(v⃗dt)n⃗ dS]  ⟹  dqdt=(ρv⃗) n⃗ dS  ⟹  J⃗=ρv⃗dq = \rho [(\vec v dt) \vec n \ dS] \implies \cfrac{dq}{dt} = (\rho \vec v) \ \vec n \ d S \implies \vec J = \rho \vec v

Para NN cargas por unidade de volume temos que

J⃗=Nqv⃗\vec J = Nq \vec v

Corrente Elétrica

A carga total II que passa por unidade de tempo através da superfície SS chama-se
Corrente Elétrica e é igual ao fluxo da densidade de corrente através da superfície

I=∫SJ⃗ dS⃗I = \int_{S} \vec J \ d \vec S
  • Mede-se em Ampere  1A=1Cs−1\ 1A = 1 C s^{-1}
  • Representa a taxa a que a carga deixa um volume delimitado por uma superfície SS

A Carga Elétrica é indestrutível, isto é, é conservada, não se pode criar nem destruir.

A Lei da Conservação da Carga é assim dada por

−dQintdt=∮SJ⃗ dS⃗- \cfrac{dQ_{int}}{dt} = \oint_{S} \vec J \ d \vec S

SS é uma superfície fechada.

A Lei da Conservação da Carga pode também ser escrita na forma diferencial

∇⃗⋅J⃗=−dρdt\vec \nabla \cdot \vec J = - \cfrac{d \rho}{dt}

No caso de um fio de comprimento LL e secção AA e de corrente uniforme o elemento de volume é ρ(LA)=λ\rho(LA) = \lambda
Assim se o fio for muito fino temos uma densidade linear de carga I=λvI = \lambda v
Se as cargas positivas e negativas se movimentarem no fio I=λ+v++λ−v−I = \lambda_{+} v_{+} + \lambda_{-} v_{-}

Lei de Kirchhoff

Não sai no 2º Teste (2021/2022)

As Leis de Kirchhoff não serão avaliadas no segundo teste

Lei das Malhas

Malha

Esta lei é uma consequência do Campo Elétrico ser Conservativo, o trabalho (mínimo) para transportar uma carga ao longo de um circuito fechado é nulo.

∮E⃗dl⃗=−∮∇⃗Vdl⃗=0\oint \vec E d \vec l = - \oint \vec \nabla V d \vec l = 0
(VA−VB)+(VB−VC)+(VC−VD)+(VD−VA)=0(V_A - V_B) + (V_B - V_C) + (V_C - V_D) + (V_D - V_A) = 0
∑k=1NIk=0,   ∑m,k=1NVmk=0\sum_{k=1}^N I_k = 0, \ \ \ \sum_{m,k=1}^N V_{mk} = 0

Lei os Nodos

Nodo

Para uma junção que não acumula nem perde energia, a carga total QQ permanece constante nessa zona do circuito. Assim

∫J⃗ dS⃗=−dQdt=0\int \vec J \ d \vec S = - \cfrac{dQ}{dt} = 0
∫J⃗ dS⃗=∫S1j⃗1 dS⃗1+∫S2j⃗2 dS⃗2+∫S3j⃗3 dS⃗3=0\int \vec J \ d \vec S = \int_{S_1} \vec j_1 \ d \vec S_1 + \int_{S_2} \vec j_2 \ d \vec S_2 + \int_{S_3} \vec j_3 \ d \vec S_3 = 0
−I1+I2+I3=0∑k=1NIk=0-I_1 + I_2 + I_3 = 0\\ \sum_{k=1}^N I_{k} = 0

Lei de Ohm

Para ter corrente é preciso empurrar as cargas, a velocidade que adquirem depende das características do material.

A Densidade de Corrente J⃗\vec J é proporcional à força por unidade de carga

J⃗=σf⃗\vec J = \sigma \vec f

σ\sigma é uma constante experimental que depende do material e chama-se Condutividade do meio.

Mais familiar deverá ser o termo ρ=1σ\rho = \cfrac{1}{\sigma} que é a Resistividade (Elétrica).

Os Isolantes também têm uma condutividade mas que difere na ordem de 102210^{22} a comparar com os Condutores. Por simplificação vamos assumir que os metais são condutores perfeitos (σ=∞)(\sigma = \infty)

Tabela

Nesta parte da matéria assumimos que a força aplicada nas cargas é a do Campo Eletromagnético.
Para um único Campo Elétrico:

J⃗=σE⃗\vec J = \sigma \vec E

Num condutor em Equilíbrio Eletrostático temos E⃗=0\vec E = 0 e J⃗=0\vec J = 0

Para condutores perfeitos E⃗=J⃗σ=0\vec E = \cfrac{\vec J}\sigma = 0, mesmo que esteja corrente a fluir.

Conclui-se que o campo elétrico necessário para movimentar as cargas é quase nulo. Assim consideramos estes fios como Equipotenciais.
Já as resistências são feitos de materiais que conduzem pouco.

A Lei de Ohm é então dada por

R=VI ,      R=ρLAR = \cfrac{V}I \ , \ \ \ \ \ \ R = \cfrac{\rho L}{A}

RR é a Resistência, expressa-se em ohms (Ω)(\Omega)

1Ω=1VA−11 \Omega = 1 V A^{-1}

Quando a carga que entra num dado volume por unidade de tempo é igual à que sai, dizemos que temos uma Corrente Estacionária e a sua Densidade de Carga ρ\rho é constante.

∂ρ∂t=∇⃗J⃗=0\cfrac{\partial \rho}{\partial t} = \vec \nabla \vec J = 0

Para correntes estacionárias e condutividade uniforme

∇⃗J⃗=σ∇⃗E⃗=0\vec \nabla \vec J = \sigma \vec \nabla \vec E = 0

Isto significa que qualquer carga não contrabalançada se situa na superfície.

A partir das equações anteriores podemos calcular as condições fronteira onde numa corrente estacionária, as cargas não se acumulam na fronteira

∇⃗J⃗=0  ⟹  ∫J⃗ dS⃗=0\vec \nabla \vec J = 0 \implies \int \vec J \ d \vec S = 0
∇⃗×E⃗=∇⃗×(J⃗σ)=0  ⟹  ∫(J⃗σ) dl⃗=0\vec \nabla \times \vec E = \vec \nabla \times (\cfrac{\vec J}\sigma) = 0 \implies \int (\cfrac{\vec J}\sigma) \ d \vec l = 0

Lei de Joule

P=VI=RI2P = VI = RI^2

PP - Potência Emitida

Só iremos estudar correntes estacionárias que produzem campos magnéticos constantes.

Uma única carga elétrica em movimento não é uma corrente estacionária.

A Experiência de Ampère

Experiência

Se colocarmos 2 fios condutores em paralelo com uma certa corrente podemos observar certos fenómenos:

  • Quando a corrente nos dois fios tem a mesma direção os fios atraem-se

  • Quando a corrente nos dois fios tem a direção oposta os fios repelem-se

Ampère concluiu assim que este fenómenos eram explicados pela Força Magnética.

Enquanto que uma carga parada produz um Campo Elétrico E⃗\vec E, uma carga em movimento produz um Campo Elétrico e um Campo Magnético B⃗\vec B

Bússola

Ørsted verificou isso usando uma bússola e vendo que esta mudava a direção perto dos fios, sobre o efeito de corrente.

Força de Lorentz

fixe

A Força (de Lorentz) F⃗\vec F que age sobre o fio pode ser descrita como o produto externo entre a Velocidade v⃗\vec v de uma carga QQ e um Campo Magnético B⃗\vec B que anda em círculo em torno do fio

F⃗=Q(v⃗×B⃗)\vec F = Q(\vec v \times \vec B)

Na presença de campos elétricos e magnéticos:

F⃗=Q(E⃗+v⃗×B⃗)\vec F = Q(\vec E + \vec v \times \vec B)

As Forças Magnéticas não produzem Trabalho.
Se a carga QQ se mover de dl⃗=v⃗dtd \vec l = \vec v dt o trabalho é

dW=F⃗ dl⃗=Q(v⃗×B⃗) v⃗ dt=Q(v⃗×v⃗) B⃗ dt=0dW = \vec F \ d \vec l = Q (\vec v \times \vec B) \ \vec v \ dt = Q(\vec v \times \vec v) \ \vec B \ dt = 0

Esta Força apenas pode mudar a trajetória de uma partícula mas nunca pode acelerá-la

Assim a Força por unidade de volume é

dF⃗dV=J⃗×B⃗\cfrac{d \vec F}{d V} = \vec J \times \vec B

Para o Vetor Corrente I⃗=J⃗A\vec I = \vec J A, podemos escrever

dF⃗dl=I⃗×B⃗\cfrac{d \vec F}{dl} = \vec I \times \vec B

A Força Magnética num fio depende apenas da corrente total e não depende da carga de cada partícula nem do seu sinal.

Num fio se o elemento dldl for suficientemente pequeno temos dl⃗d \vec l e I⃗\vec I na mesma direção e portanto é equivalente escrever

dF⃗=I(dl⃗×B⃗)d \vec F = I (d \vec l \times \vec B )

Para II constante

F⃗=∫I(dl⃗×B⃗)  ⟹  F⃗=I∫(dl⃗×B⃗)\vec F = \int I (d \vec l \times \vec B) \implies \vec F = I \int (d \vec l \times \vec B)

Sendo k⃗\vec k a corrente (vetorial) por unidade de largura perpendicular ao fluxo:

k⃗=σv⃗\vec k = \sigma \vec v

Onde σ\sigma é a densidade superficial de carga (móvel) e v⃗\vec v a velocidade das cargas, k⃗\vec k varia de ponto para ponto porque σ\sigma e v⃗\vec v podem variar.

A Força Magnética na corrente superficial é

F⃗=∫(v⃗×B⃗)σ dS=∫(k⃗×B⃗) dS\vec F = \int (\vec v \times \vec B) \sigma \ dS = \int (\vec k \times \vec B) \ dS

Para uma Corrente Volumétrica

F⃗=∫(J⃗×B⃗) dV\vec F = \int (\vec J \times \vec B) \ dV

Lei de Biot-Savart

Biot

O Campo Magnético por um fio percorrido por corrente estacionária I⃗\vec I é dado por

B⃗(r⃗)=μ04π∫CI⃗×e⃗rr2 dl′=μ0′4π∫CdI⃗′×e⃗rr2\vec B (\vec r) = \cfrac {\mu_{0}}{4 \pi} \int_{C} \cfrac{\vec I \times \vec e_{r}}{r^2} \ dl ' = \cfrac {\mu_{0} '}{4 \pi} \int_{C} \cfrac{d \vec I ' \times \vec e_{r}}{r^2}

A integração é feita segundo a direção da corrente.

μ0=4π×10−7N A−2\mu_{0} = 4 \pi \times 10^{-7} N \ A^{-2} é a Permeabilidade do Espaço Livre

Este número é exato e não uma constante empírica. Serve para definir o Ampere, que define o Coulomb. As unidades foram definidas de forma a que B⃗\vec B seja expresso em Newton por Ampere-metro ou Tesla (T)  1T=1NA−1 m−1\ 1 T = 1 N A^{-1} \ m ^{-1} Usa-se mais a unidade Gausss od sistema CGS: 1 Tesla =104=10^4 Gauss

Para temos de comparação, o Campo Magnético terrestre é igual a 0.5 Gauss. No Cern foi possível existe um íman com o valor de 3.8 Tesla

Lei de Ampère

Dedução da Lei de Ampère

Existem nos slides uma explicação de como se chegou a estas Leis

∇⃗×B⃗=μ0J⃗\vec \nabla \times \vec B = \mu_{0} \vec J
∮B⃗ dl⃗=μ0Ii\oint \vec B \ d \vec l = \mu_{0} I_{i}

Slides: