Conteúdo Duplicado
O conteúdo nesta página é duplicado da matéria de CDI-II:
Daqui para baixo, apenas irá estar o conteúdo novo dado apenas em CDI-III e definições importantes.
Recomenda-se a leitura das páginas indicadas acima.
Pode ainda ser útil assistir às Aulas do Calhau :
Aula 4 : Integrais sobre variedades. Integrais de campos vetoriais e trabalho.Aula 5 : Teorema de Green. Teorema da Divergência.Aula 6 : Teorema de Stokes. R n \R^n R n Já se tinha definido anteriormente em CDI-II a noção de caminho .
Abaixo definem-se duas noções novas: caminho regular e caminho seccionalmente regular .
Seja então um caminho contínuo γ \gamma γ
γ : [ a , b ] → R n \gamma : [a, b] \to \R^n γ : [ a , b ] → R n podemos definir as seguintes noções:
Um caminho (de classe C 1 C^1 C 1
γ ′ ( t ) ≠ 0 \gamma'(t) \ne 0 γ ′ ( t ) = 0 Para relembrar , a derivada de um caminho está definida por
lim δ → 0 γ ( t + δ ) − γ ( t ) δ = γ ′ ( t ) \lim_{\delta \to 0} \frac{\gamma(t+\delta) - \gamma(t)}{\delta} = \gamma'(t) δ → 0 lim δ γ ( t + δ ) − γ ( t ) = γ ′ ( t ) Exemplo de caminho não regular O seguinte caminho não é regular, visto que a sua derivada não está definida em x = 0 x=0 x = 0
γ ( x ) = ( x , x 2 sin 1 x ) \gamma(x) = \left(x, x^2 \sin \frac{1}{x}\right) γ ( x ) = ( x , x 2 sin x 1 ) Existe no ponto, mas não existe o limite que define a derivada.
Um caminho (de classe C 1 C^1 C 1
Então, o caminho
γ : [ a , b ] → R n \gamma : [a, b] \to \R^n γ : [ a , b ] → R n é regular se
[ a , b ] = ⋃ j = 0 n [ a j , b j ] a 0 = a , b n = b , a j + 1 = b j \begin{darray}{c}
[a,b] = \bigcup_{j=0}^n [a_j, b_j] & a_0 = a, b_n = b, a_{j + 1} = b_j
\end{darray} [ a , b ] = j = 0 ⋃ n [ a j , b j ] a 0 = a , b n = b , a j + 1 = b j e, para todo o a j a_j a j b j b_j b j γ : [ a j , b j ] → R n \gamma : [a_j,b_j] \to \R^n γ : [ a j , b j ] → R n
O comprimento de um caminho c c c [ a , b ] [a,b] [ a , b ]
[ a , b ] = ⋃ j = 0 n − 1 [ a j , a j + 1 ] a 1 = a , a j < a j + 1 , a n = b \begin{darray}{c}
[a, b] = \bigcup^{n-1}_{j=0} [a_j, a_{j+1}] & a_1 = a, a_j < a_{j+1}, a_n = b
\end{darray} [ a , b ] = j = 0 ⋃ n − 1 [ a j , a j + 1 ] a 1 = a , a j < a j + 1 , a n = b c = γ ( [ a , b ] ) c = \gamma([a,b]) c = γ ([ a , b ]) é o seguinte:
l ( c ) = ∑ j = 0 n − 1 ∣ ∣ γ ( a i + 1 ) − γ ( a i ) a i + 1 − a i ∣ ∣ ( a i + 1 − a i ) = ∑ ∣ ∣ γ ′ ( c i ) ∣ ∣ ( a i + 1 − a i ) = ∫ a b ∣ ∣ γ ′ ( t ) ∣ ∣ d t = ∫ C 1 \begin{aligned}
l (c) &= \sum_{j=0}^{n-1} \left|\left| \frac{\gamma(a_{i+1}) - \gamma(a_i)}{a_{i+1} - a_i} \right|\right| (a_{i+1} - a_i)\\
&= \sum || \gamma'(c_i) || (a_{i+1} - a_i)\\
&= \int_{a}^{b} ||\gamma'(t)|| \d t\\
&= \int_C 1
\end{aligned} l ( c ) = j = 0 ∑ n − 1 a i + 1 − a i γ ( a i + 1 ) − γ ( a i ) ( a i + 1 − a i ) = ∑ ∣∣ γ ′ ( c i ) ∣∣ ( a i + 1 − a i ) = ∫ a b ∣∣ γ ′ ( t ) ∣∣ d t = ∫ C 1 Dois caminhos γ 1 : [ a 1 , b 1 ] → R n \gamma_1 : [a_1, b_1] \to \R^n γ 1 : [ a 1 , b 1 ] → R n γ 2 : [ a 2 , b 2 ] → R n \gamma_2: [a_2, b_2] \to \R^n γ 2 : [ a 2 , b 2 ] → R n ϕ : [ a 2 , b 2 ] → [ a 1 , b 1 ] \phi: [a_2, b_2] \to [a_1, b_1] ϕ : [ a 2 , b 2 ] → [ a 1 , b 1 ] C 1 C_1 C 1 γ 2 = γ 1 ∘ ϕ \gamma_2 = \gamma_1 \circ \phi γ 2 = γ 1 ∘ ϕ
com ϕ ′ > 0 \phi' > 0 ϕ ′ > 0
∫ F ⋅ d γ 1 = ∫ F ⋅ d γ 2 \int F \cdot \d \gamma_1 = \int F \cdot \d \gamma_2 ∫ F ⋅ d γ 1 = ∫ F ⋅ d γ 2
ou com ϕ ′ < 0 \phi' < 0 ϕ ′ < 0
∫ F ⋅ d γ 1 = − ∫ F ⋅ d γ 2 \int F \cdot \d \gamma_1 = - \int F \cdot \d \gamma_2 ∫ F ⋅ d γ 1 = − ∫ F ⋅ d γ 2
Como podemos ver, a relação depende apenas da curva e do sentido em que se percorre a curva.
Abaixo apresentam-se os conceitos de integral de linha de um campo vetorial
e integral de linha de um campo escalar ,
também definidos anteriormente em CDI-II.
Integral de linha de um campo vetorial
O integral de linha do campo F : U ⊆ R n → R n F: U \subseteq \R^n \to \R^n F : U ⊆ R n → R n C = γ ( [ a , b ] ) C = \gamma([a,b]) C = γ ([ a , b ])
∫ C F = ∫ a b F ( γ ( t ) ) ⋅ γ ′ ( t ) d t \int_C F = \int_{a}^{b} F(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) \d t ∫ C F = ∫ a b F ( γ ( t )) ⋅ γ ′ ( t ) d t
Integral de linha de um campo escalar
O integral de linha do campo f : U ⊆ R n → R f: U \subseteq \R^n \to \R f : U ⊆ R n → R C = γ ( [ a , b ] ) C = \gamma([a,b]) C = γ ([ a , b ])
∫ C f = ∫ a b f ( γ ( t ) ) ⋅ ∣ ∣ γ ′ ( t ) ∣ ∣ d t \int_C f = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot ||\gamma'(t)|| \d t ∫ C f = ∫ a b f ( γ ( t )) ⋅ ∣∣ γ ′ ( t ) ∣∣ d t
O Teorema de Green também já foi anteriormente definido em CDI-II.
Seja F = ( P , Q ) F=(P,Q) F = ( P , Q ) F : U ⊂ R 2 → R 2 F : U \subset \R^2 \to \R^2 F : U ⊂ R 2 → R 2 C 2 C^2 C 2
Seja D D D ∂ D \partial D ∂ D
∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y = ∫ ∂ D P d x + Q d y \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) \d x \d y = \int_{\partial D} P \d x + Q \d y ∬ D ( ∂ x ∂ Q − ∂ y ∂ P ) d x d y = ∫ ∂ D P d x + Q d y